統計的な推測の問題

分散は $V(XY)=E\left((XY{)}^2\right)-\{E(XY){\}}^2$ で求められる。

$X$ について
$X$ は $1,2,\dots ,6$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{6}$ でとるので
$$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$$
$$E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$$

$Y$ について
$Y=1,2,3$ となる確率はそれぞれ $\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4}$ であるから
$$E(Y)=1\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{2}{4}+3\cdot \frac{1}{4}=\frac{8}{4}=2$$
$$E(Y^2)=1\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{2}{4}+9\cdot \frac{1}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$$

$XY$ の期待値と分散
$X$ と $Y$ は互いに独立であるから $E(XY)=E(X)E(Y)$ が成り立つ。また、$X^2$ と $Y^2$ も互いに独立であるから $E(X^2{Y}^2)=E(X^2)E(Y^2)$ が成り立つ。よって
$$E(XY)=\frac{7}{2}\cdot 2=7$$
$$E\left((XY{)}^2\right)=E(X^2)E(Y^2)=\frac{91}{6}\cdot \frac{9}{2}=\frac{819}{12}=\frac{273}{4}$$
したがって
$$V(XY)=\frac{273}{4}-7^2=\frac{273}{4}-\frac{196}{4}=\frac{77}{4}$$

（確認）$V(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$, $V(Y)=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$ であり、$V(XY)=V(X)V(Y)+V(X)\{E(Y){\}}^2+V(Y)\{E(X){\}}^2=\frac{35}{24}+\frac{35}{3}+\frac{49}{8}=\frac{35+280+147}{24}=\frac{462}{24}=\frac{77}{4}$ となり一致する。

答え: $\frac{77}{4}$

X は 1〜6 の等確率。E(X)=7/2、E(X²)=91/6、V(X)=91/6−49/4=35/12。
Y は 1,2,2,3 の等確率。E(Y)=8/4=2、E(Y²)=(1+4+4+9)/4=9/2、V(Y)=9/2−4=1/2。
X と Y は独立なので E(XY)=E(X)E(Y)=7、E((XY)²)=E(X²)E(Y²)=(91/6)(9/2)=819/12=273/4。
よって V(XY)=273/4−49=273/4−196/4=77/4。
検算：V(XY)=V(X)V(Y)+V(X)E(Y)²+V(Y)E(X)²=(35/12)(1/2)+(35/12)(4)+(1/2)(49/4)=35/24+140/12+49/8=35/24+280/24+147/24=462/24=77/4。一致する。