統計的な推測の問題

$6$ 枚から $2$ 枚を取り出す方法は全部で ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

$X$ のとりうる値は $1,2,3,4,5$ である。$X=k$ となるのは、$k$ のカードと、$k$ より大きい数のカード $1$ 枚を取り出すときである。$k$ より大きい数は $6-k$ 個あるので
$$P(X=k)=\frac{6-k}{15}(k=1,2,3,4,5)$$
となる。したがって $X$ の確率分布は
$$P(X=1)=\frac{5}{15},P(X=2)=\frac{4}{15},P(X=3)=\frac{3}{15},P(X=4)=\frac{2}{15},P(X=5)=\frac{1}{15}$$
である（確率の和は $\frac{15}{15}=1$）。

期待値は
$$E(X)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{15}=\frac{5+8+9+8+5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$$

$X^2$ の期待値は
$$E(X^2)=\frac{1\cdot 5+4\cdot 4+9\cdot 3+16\cdot 2+25\cdot 1}{15}=\frac{5+16+27+32+25}{15}=\frac{105}{15}=7$$

よって、$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$ より
$$V(X)=7-{\left(\frac{7}{3}\right)}^2=7-\frac{49}{9}=\frac{63-49}{9}=\frac{14}{9}$$

2枚の取り出し方は全部で ${}_6{C}_2=15$ 通りで、どれも同様に確からしい。小さい方が $k$ になるのは、もう一方が $k+1,\dots ,6$ のいずれかのときで $6-k$ 通りである。よって $P(X=k)=\frac{6-k}{15}$ ($k=1,\dots ,5$)。

確率は順に $\frac{5}{15},\frac{4}{15},\frac{3}{15},\frac{2}{15},\frac{1}{15}$ で、合計は $1$ になる。

$E(X)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$

$E(X^2)=\frac{1\cdot 5+4\cdot 4+9\cdot 3+16\cdot 2+25\cdot 1}{15}=\frac{105}{15}=7$

$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=7-\frac{49}{9}=\frac{14}{9}$

検算として定義どおり計算する。$\sum (k-\frac{7}{3}{)}^{2}P(X=k)$ の各項は、$k=1$ で $\frac{16}{9}\cdot \frac{5}{15}=\frac{80}{135}$、$k=2$ で $\frac{1}{9}\cdot \frac{4}{15}=\frac{4}{135}$、$k=3$ で $\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{15}=\frac{12}{135}$、$k=4$ で $\frac{25}{9}\cdot \frac{2}{15}=\frac{50}{135}$、$k=5$ で $\frac{64}{9}\cdot \frac{1}{15}=\frac{64}{135}$。合計は $\frac{210}{135}=\frac{14}{9}$ となり一致する。