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統計的な推測の問題

難易度 3共通テストレベル数学B 統計的な推測

袋の中に、 $1$ と書かれたカードが $1$ 枚、 $2$ と書かれたカードが $2$ 枚、 $3$ と書かれたカードが $3$ 枚、合計 $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出した $2$ 枚に書かれた数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $Y = 5 X + 1$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。

この問題で使うもの

組合せ（説明と入口の問題）
確率の定義と和事象・余事象（説明と入口の問題）
確率変数と確率分布（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $X$ のとりうる値と、それぞれの確率（確率分布）を求めましょう。 $Y$ の分散は $X$ の分散から求められます。

ヒント 2

$V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ と、 $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ を使います。

ヒント 3

$X$ の確率分布は $P (X = 0) = \frac{4}{15}$ , $P (X = 1) = \frac{8}{15}$ , $P (X = 2) = \frac{3}{15}$ となり、 $E (X) = \frac{14}{15}$ , $E (X^{2}) = \frac{4}{3}$ です。

答えと解説

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\frac{104}{9}

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解説を読む

$6$ 枚から $2$ 枚を取り出す方法は $_{6} C_{2} = 15$ 通りであり、これらは同様に確からしい。

取り出す $2$ 枚の数の組ごとに場合の数を数える。
- ${1, 2}$ ： $1 \times 2 = 2$ 通り（差の絶対値 $1$ ）
- ${1, 3}$ ： $1 \times 3 = 3$ 通り（差の絶対値 $2$ ）
- ${2, 3}$ ： $2 \times 3 = 6$ 通り（差の絶対値 $1$ ）
- ${2, 2}$ ： $_{2} C_{2} = 1$ 通り（差の絶対値 $0$ ）
- ${3, 3}$ ： $_{3} C_{2} = 3$ 通り（差の絶対値 $0$ ）

合計は $2 + 3 + 6 + 1 + 3 = 15$ 通りで一致する。よって $X$ の確率分布は
$P (X = 0) = \frac{4}{15}, P (X = 1) = \frac{8}{15}, P (X = 2) = \frac{3}{15}$
である。

期待値は
$E (X) = 0 \cdot \frac{4}{15} + 1 \cdot \frac{8}{15} + 2 \cdot \frac{3}{15} = \frac{14}{15}$
また
$E (X^{2}) = 0^{2} \cdot \frac{4}{15} + 1^{2} \cdot \frac{8}{15} + 2^{2} \cdot \frac{3}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$
よって
$V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2} = \frac{4}{3} - \frac{196}{225} = \frac{300}{225} - \frac{196}{225} = \frac{104}{225}$

$a, b$ を定数とすると $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ が成り立つので
$V (Y) = V (5 X + 1) = 25 \cdot \frac{104}{225} = \frac{104}{9}$

別解

カードは全部で6枚で、同時に2枚を取り出す組合せは $(2 6) = 15$ 通り。同じ数字のカードも別のカードとして区別し、どの組も同様に確からしいとする。

$X = 0$ となるのは同じ数字の2枚を取るときで、2が2枚から $(2 2) = 1$ 通り、3が3枚から $(2 3) = 3$ 通り。合計 $4$ 通り。

$X = 1$ となるのは (1,2) または (2,3) のとき。(1,2) は $1 \cdot 2 = 2$ 通り、(2,3) は $2 \cdot 3 = 6$ 通り。合計 $8$ 通り。

$X = 2$ となるのは (1,3) のときで、 $1 \cdot 3 = 3$ 通り。

確認すると $4 + 8 + 3 = 15$ で一致する。

よって $P (X = 0) = \frac{4}{15}$ 、 $P (X = 1) = \frac{8}{15}$ 、 $P (X = 2) = \frac{3}{15}$ 。

$E (X) = \frac{8}{15} + \frac{6}{15} = \frac{14}{15}$ 。

$E (X^{2}) = \frac{8}{15} + \frac{12}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ 。

$V (X) = \frac{4}{3} - (\frac{14}{15})^{2} = \frac{300}{225} - \frac{196}{225} = \frac{104}{225}$ 。

$V (Y) = 25 V (X) = 25 \cdot \frac{104}{225} = \frac{104}{9}$ 。

検算として、 $E (X) = \frac{14}{15}$ を使って分散を直接計算する。
$\frac{4}{15} (\frac{14}{15})^{2} + \frac{8}{15} (\frac{1}{15})^{2} + \frac{3}{15} (\frac{16}{15})^{2} = \frac{4 \cdot 196 + 8 \cdot 1 + 3 \cdot 256}{3375} = \frac{784 + 8 + 768}{3375} = \frac{1560}{3375} = \frac{104}{225}$ 。
これは先の値と一致する。

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