統計的な推測の問題

$6$ 枚から $2$ 枚を取り出す方法は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

取り出す $2$ 枚の組み合わせごとに場合の数と和を調べる。
- $1$ と $2$：$1\times 2=2$ 通り、和は $3$
- $1$ と $3$：$1\times 3=3$ 通り、和は $4$
- $2$ と $2$：${}_2{\mathrm{C}}_2=1$ 通り、和は $4$
- $2$ と $3$：$2\times 3=6$ 通り、和は $5$
- $3$ と $3$：${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通り、和は $6$

合計は $2+3+1+6+3=15$ 通りで、全体の数と一致する。よって $X$ の確率分布は
$$P(X=3)=\frac{2}{15},P(X=4)=\frac{4}{15},P(X=5)=\frac{6}{15},P(X=6)=\frac{3}{15}$$
である。

期待値は
$$E(X)=\frac{3\cdot 2+4\cdot 4+5\cdot 6+6\cdot 3}{15}=\frac{6+16+30+18}{15}=\frac{70}{15}=\frac{14}{3}$$
である。

$X^2$ の期待値は
$$E(X^2)=\frac{9\cdot 2+16\cdot 4+25\cdot 6+36\cdot 3}{15}=\frac{18+64+150+108}{15}=\frac{340}{15}=\frac{68}{3}$$
である。

したがって分散は
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{68}{3}-\frac{196}{9}=\frac{204-196}{9}=\frac{8}{9}$$
となり、標準偏差は
$$\sigma (X)=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
である。

$Y=3X-5$ について、$\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$ が成り立つから
$$\sigma (Y)=3\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$$
である。

区別できるカード $6$ 枚から $2$ 枚を選ぶ組合せは ${}_6{C}_2=15$ 通り。

和 $X$ ごとの場合の数は次のとおり。
- $X=3$: $(1,2)$ で $1\times 2=2$ 通り
- $X=4$: $(1,3)$ で $3$ 通り、$(2,2)$ で $1$ 通り、計 $4$ 通り
- $X=5$: $(2,3)$ で $2\times 3=6$ 通り
- $X=6$: $(3,3)$ で ${}_3{C}_2=3$ 通り

合計 $2+4+6+3=15$ 通りで一致する。

$E(X)=\frac{3\cdot 2+4\cdot 4+5\cdot 6+6\cdot 3}{15}=\frac{70}{15}=\frac{14}{3}$

$E(X^2)=\frac{9\cdot 2+16\cdot 4+25\cdot 6+36\cdot 3}{15}=\frac{340}{15}=\frac{68}{3}$

$V(X)=\frac{68}{3}-{\left(\frac{14}{3}\right)}^2=\frac{204-196}{9}=\frac{8}{9}$

$Y=3X-5$ より $V(Y)=3^{2}V(X)=9\cdot \frac{8}{9}=8$。

よって $\sigma (Y)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

検算: $Y$ の値は $4,7,10,13$ で確率は $\frac{2}{15},\frac{4}{15},\frac{6}{15},\frac{3}{15}$。$E(Y)=3\cdot \frac{14}{3}-5=9$。$V(Y)=\frac{25\cdot 2+4\cdot 4+1\cdot 6+16\cdot 3}{15}=\frac{50+16+6+48}{15}=\frac{120}{15}=8$ となり一致する。