分散と標準偏差

5 人の生徒が先月読んだ本の冊数を調べたところ、次のようになった（単位は冊）。$$2,5,6,8,9$$ このデータの分散を求めよ。

ある $5$ 人の生徒が $10$ 点満点の小テストを受けたところ、得点は次のようになった。$$4,7,5,9,10(\text{点})$$このデータの分散を求めよ。

ある町の $5$ 日間の最高気温（単位は ${}^{\circ }\mathrm{C}$）を調べたところ、次のデータが得られた。
$$8,12,10,7,13$$
このデータの分散を求めよ。

ある店で、4 日間の最高気温 $x$（℃）と冷たい飲み物の販売数 $y$（本）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で、4 日間の最高気温 $x$（℃）と、その日に売れたアイスクリームの個数 $y$（個）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で、5 日間の最高気温 $x$（℃）と、温かい飲み物の売上本数 $y$（本）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

4 組のデータ
$$(x_i,y_i)=(0,1),(1,3),(2,4),(3,8)(i=1,2,3,4)$$
がある。残差平方和
$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2$$
を最小にする実数 $a,b$ を用いた直線 $y=a+bx$ を、$y$ の $x$ への回帰直線とする。この回帰直線による決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2}{\sum _{i=1}^4(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_4$ の平均値である。

ある店で 4 週間にわたり、1 週間に配ったチラシの枚数 $x$（単位 百枚）と、その週の来店者数 $y$（単位 十人）を調べたところ、次の 4 組のデータ $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,3,4)$ が得られた。
$$(1,2),(2,3),(3,5),(4,6)$$
$y$ を $x$ で説明する回帰直線 $y=a+bx$ を、残差平方和 $\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2$ が最小になるように（最小二乗法で）定める。このとき、決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2}{\sum _{i=1}^4(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
を求めよ。ただし $\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_4$ の平均値である。

5 人の生徒 A, B, C, D, E に、数学と英語の小テスト（各 15 点満点）を行ったところ、得点は次のようになった。

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

10 人の生徒が受けたテストの得点を $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ とする。これらについて
$$\sum _{k=1}^{10}{x}_k=620,\sum _{k=1}^{10}{x}_k^2=39160$$
が成り立っている。

定数 $a,b$（$a>0$）を用いて、各得点を $y_k=a{x}_k+b(k=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $162$ になった。このとき、$b$ の値を求めよ。

あるクラスの生徒 $10$ 人を、グループ A の $6$ 人とグループ B の $4$ 人に分け、それぞれの通学時間（分）を調べた。グループ A の $6$ 人の通学時間の平均値は $15$、標準偏差は $2$ であった。グループ B の $4$ 人の通学時間の平均値は $20$、標準偏差は $3$ であった。このとき、$10$ 人全体の通学時間の標準偏差を求めよ。

ある 10 人のテストの得点を、A 組 6 人と B 組 4 人に分けて集計した。A 組 6 人の得点の平均値は $50$ 点、分散は $16$ であった。B 組 4 人の得点の平均値は $60$ 点、分散は $36$ であった。このとき、10 人全体の得点の標準偏差を求めよ。ただし、分散は偏差の 2 乗の平均値とする。

5 人の生徒 A, B, C, D, E について、1 週間の自宅学習時間 $x$（時間）と小テストの得点 $y$（点）を調べたところ、次の表のようになった。

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次のことがわかっている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=64,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=232,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=584,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=288$$

このとき、$x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

6 人の生徒が 1 日に解いた数学の問題数を調べたところ、次のようになった（単位は問）。
$$3,8,5,12,9,x$$
このデータの平均値が $7$ 問であるとき、このデータの標準偏差を求めよ。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$x_1+x_2+\cdots +x_{10}=120,x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{10}^2=1600$$
であった。

定数 $a,b$（ただし $a<0$）を用いて、新しい変量 $y$ を $y=ax+b$ で定める。変量 $y$ のデータ $y_i=a{x}_i+b$ $(i=1,2,\dots ,10)$ の平均値が $40$、標準偏差が $8$ となるとき、定数 $b$ の値を求めよ。

13 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)(i=1,2,\dots ,13)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}=26,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}=39,\sum _{i=1}^{13}{y}_i=65,$$
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}^2=62,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}^2=137,\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}{x}_{2i}=88,$$
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}{y}_i=160,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}{y}_i=235,\sum _{i=1}^{13}{y}_i^2=475.$$
このデータに重回帰モデル
$$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1i}+{\beta }_2{x}_{2i}+{\epsilon }_i$$
をあてはめ、${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2$ を最小二乗法で推定する。最小二乗推定値を ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2$、残差を $e_i=y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{1i}-{\hat{\beta }}_2{x}_{2i}$、$\bar{y}=\frac{1}{13}{\sum }_{i=1}^{13}{y}_i$ とし、
$$S_e=\sum _{i=1}^{13}{e}_i^2,S_{yy}=\sum _{i=1}^{13}(y_i-\bar{y}{)}^2$$
とおく。決定係数 $R^2=1-\frac{S_e}{S_{yy}}$ と自由度調整済み決定係数 $R^{\ast 2}=1-\frac{S_e/(13-3)}{S_{yy}/(13-1)}$ を求め、$(R^2,R^{\ast 2})$ の組としてこの順に答えよ。

5 人の生徒に 2 種類の小テストを行い、それぞれの得点を変量 $x$, $y$ として次の表にまとめた。ただし、$a$, $b$ は $a<b$ を満たす実数である。

変量 $y$ の平均値は $6$、分散は $6$ である。このとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。ただし、分散と共分散は、偏差の 2 乗の和や偏差の積の和をデータの個数 $5$ で割ったものとする。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=70,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=530$$
である。正の定数 $a$ と定数 $b$ を用いて $y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、$y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $100$ になった。

さらに $x_{11}=12$ とし、同じ式で $y_{11}=a{x}_{11}+b$ と定める。このとき、$11$ 個のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{11}$ の分散を求めよ。

20 個の値からなるデータがあり、その平均値は $50$、分散は $16$ であった。ところが後になって、このデータのうち 2 つの値に記録の誤りがあることがわかった。$42$ と記録されていた値は正しくは $52$、$58$ と記録されていた値は正しくは $48$ である。ほかの 18 個の値は正しく記録されている。正しいデータの標準偏差を求めよ。

10 個の値からなる変量 $x$ のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、その分散は $4$ である。正の定数 $a$ を用いて、新しい変量 $y$ を
$$y_i=a{x}_i+2(i=1,2,\dots ,10)$$
で定める。$y$ のデータの平均値は $17$ であり、$y_1^2,y_2^2,\dots ,y_{10}^2$ の平均値は $325$ であった。

このとき、$\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2$ の値を求めよ。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=56,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=240,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=330,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=460$$
このデータに単回帰モデル $y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i(i=1,2,\dots ,8)$ を当てはめ、${\beta }_0,{\beta }_1$ を最小二乗法で推定する。傾き ${\beta }_1$ の最小二乗推定値 ${\hat{\beta }}_1$ と、このあてはめの決定係数 $R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^8(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^8(y_i-\bar{y}{)}^2}$ を、この順に組 $({\hat{\beta }}_1,R^2)$ で求めよ。ただし ${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_i$ は予測値、$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_8$ の平均である。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、実数の組のデータ $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ が与えられている。$x_1,\dots ,x_n$ はすべてが等しいわけではなく、$y_1,\dots ,y_n$ もすべてが等しいわけではないとする。

$y$ を $x$ に回帰する直線 $y=a+bx$ の係数を最小二乗法で定める。すなわち $(\hat{a},\hat{b})$ を
$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i{)}^2$$
を最小にする実数の組とし、${\hat{y}}_i=\hat{a}+\hat{b}{x}_i$ とおく。この回帰の決定係数を
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}\left(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\right)$$
で定める。同様に、$x$ を $y$ に回帰する直線 $x=c+dy$ の係数 $(\hat{c},\hat{d})$ を、$\sum _{i=1}^n(x_i-c-d{y}_i{)}^2$ を最小にする実数の組とする。

このとき、$(\hat{a},\hat{b})$, $(\hat{c},\hat{d})$ はそれぞれただ 1 つに定まり、
$$\hat{b}\hat{d}=R^2$$
が成り立つことを証明せよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの各整数 $k$ を、それぞれちょうど $k$ 個ずつ並べてできるデータ
$$1,2,2,3,3,3,\dots ,\underset{n\text{個}}{\underbrace{n,n,\dots ,n}}$$
を考える（値 $k$ がちょうど $k$ 個含まれ、データの大きさは $1+2+\cdots +n$ である）。

このデータの標準偏差が $10$ 以上となるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

40 人の生徒が 100 点満点のテストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $100$ 以下の実数で、40 人の得点のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{40}$ の平均値は $70$ 点であった。ただし、すべての得点が等しいことはないものとする。

この得点を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,40)$$
と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{40}$ の平均値は $50$、標準偏差は $10$ になった。ただし、標準偏差は分散（データの各値と平均値の差の 2 乗の平均値）の正の平方根とする。得点のデータとしてありうるものすべてを考えるとき、$b$ のとりうる値の最大値を求めよ。

10 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)$ $(i=1,2,\dots ,10)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}=30,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}=20,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=50,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}^2=100,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}^2=45,\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{x}_{2i}=64,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{y}_i=166,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}{y}_i=103,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=290.$$
このデータに重回帰モデル $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ を最小二乗法で当てはめ、推定値 ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2$ を求める。${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_{1i}+{\hat{\beta }}_2{x}_{2i}$、$\bar{y}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{y}_i$ とおくとき、決定係数
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。

7 個の値からなるデータ
$$3,6,8,11,14,x,y$$
がある。ただし、$x,y$ は $x\leqq y$ を満たす実数である。このデータの平均値は $9$、四分位範囲は $8$ である。このとき、このデータの分散がとりうる値の最大値を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたとき、中央値より小さい側の 3 個の値の中央値を第 1 四分位数 $Q_1$、中央値より大きい側の 3 個の値の中央値を第 3 四分位数 $Q_3$ とし、四分位範囲を $Q_3-Q_1$ とする。

A組 $20$ 人と B組 $30$ 人が同じテストを受けた。A組の得点の平均値は $50$ 点、分散は $100$ であり、B組の得点の平均値は $60$ 点、分散は $60$ であった。

A組の各生徒の得点 $x$ だけを、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y=ax+b$$
により $y$ に変換した。変換後の A組の得点 $y$ と、変換していない B組の得点を合わせた $50$ 人分のデータの平均値は $58$ 点、分散は $132$ となった。

A組で元の得点が $70$ 点であった生徒の、変換後の得点を求めよ。ただし、分散は偏差の $2$ 乗の平均値とする。

ある高校で、生徒 10 人に 2 種類のテストを行い、テスト 1 の得点を $x$、テスト 2 の得点を $y$ とした。10 人は、6 人のグループ A と 4 人のグループ B に分かれており、各グループの結果は次の通りであった。

• グループ A（6 人）: $x$ の平均値 $5$、$y$ の平均値 $6$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.5$
• グループ B（4 人）: $x$ の平均値 $10$、$y$ の平均値 $11$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.25$

ただし、分散・標準偏差・共分散は、いずれも偏差の積（または偏差の 2 乗）の総和をデータの個数で割ったものとする。

10 人全体のデータにおける $x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

$n$ 個の値からなるデータがあり、その平均値は $10$、標準偏差は $3$ である。このデータに $2$ つの値 $16,22$ を加えて、$n+2$ 個の値からなるデータを作ったところ、その標準偏差は $\frac{9}{2}$ になった。正の整数 $n$ の値を求めよ。

$2$ つの変量 $x,y$ について、$10$ 個のデータの組 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_{10},y_{10})$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=50,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=80,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=290,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=730,\sum _{i=1}^{10}{x}_i{y}_i=380$$
であった。

実数 $t$ に対し、新しい変量 $w$ を $w=x+ty$ で定める（すなわち $w_i=x_i+t{y}_i$）。$w$ の分散が最小となるように $t$ を定めたとき、変量 $x$ と変量 $w$ の相関係数を求めよ。

$5$ 個の実数からなるデータ $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ があり、各値は $0\leqq x_i\leqq 10$ $(i=1,2,3,4,5)$ を満たし、平均値は $\frac{18}{5}$ である。

このようなデータ全体を考えるとき、データの標準偏差の最大値を求めよ。

10 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)$ $(i=1,2,\dots ,10)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}=30,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}=20,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=50,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}^2=100,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}^2=45,\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{x}_{2i}=64,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{y}_i=168,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}{y}_i=114,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=300.$$
このデータに重回帰モデル $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ を最小二乗法であてはめる。残差平方和を $S_e$、$y$ の偏差平方和を $S_{yy}=\sum _{i=1}^{10}(y_i-\bar{y}{)}^2$（$\bar{y}$ は $y_i$ の平均）とするとき、自由度調整済み決定係数
$$R^{\ast 2}=1-\frac{S_e/(10-3)}{S_{yy}/(10-1)}$$
の値を既約分数で求めよ。

ある金属片の長さを、同じ条件のもとでノギスで $n=10$ 回測定した。記録した 10 個の測定値 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ から計算した結果は、平均値 $\bar{x}=50.00\mathrm{mm}$、標準偏差 $s=0.30\mathrm{mm}$ であった。ここで標準偏差は
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
で定める。

のちに記録を見直したところ、10 個の測定値のうち 1 つは、実際の読みが $50.10\mathrm{mm}$ であったのに、誤って $50.40\mathrm{mm}$ と記録していたことがわかった。ほかの 9 個の値は正しく記録されていた。

この 1 つの値を $50.10\mathrm{mm}$ に直した 10 個の正しい測定値について、平均の標準誤差 $s/\sqrt{n}$ を求めると何 $\mathrm{mm}$ になるか。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、与えられた $\bar{x}$ と $s$ の値は丸めのない正確な値とみなす。

$9$ 個の実数からなるデータ $x_1,x_2,\dots ,x_9$ があり、その平均値は $50$、標準偏差は $4$ である。

このデータの四分位範囲としてとりうる値の最大値を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたとき、中央値（小さい方から $5$ 番目の値）より小さい側の $4$ 個の値の中央値を第 $1$ 四分位数、大きい側の $4$ 個の値の中央値を第 $3$ 四分位数とし、四分位範囲は（第 $3$ 四分位数）$-$（第 $1$ 四分位数）とする。また、分散は偏差の $2$ 乗の平均値、標準偏差は分散の正の平方根とする。

$20$ 個の整数からなるデータがある。どの整数についても、その整数と等しい値はこのデータの中に $3$ 個以下しか含まれない。このとき、このデータの分散として考えられる値の最小値を求めよ。

ただし、データ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の平均値を $\overline{x}$ とするとき、分散は $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$ で定める。

$1$ から $9$ までの整数を $1$ 回ずつ並べた列 $a_1,a_2,\dots ,a_9$ が、すべての $i=1,2,\dots ,9$ について $a_i\ne i$ を満たしている。$2$ つの変量 $x,y$ の $9$ 個のデータの組を
$$(x_i,y_i)=(i,a_i)(i=1,2,\dots ,9)$$
とするとき、$x$ と $y$ の相関係数として考えられる値の最大値を求めよ。