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データの分析の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I データの分析

ある町の $5$ 日間の最高気温（単位は $^{\circ} C$ ）を調べたところ、次のデータが得られた。
$8, 12, 10, 7, 13$
このデータの分散を求めよ。

この問題で使うもの

分散と標準偏差（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

分散は「偏差の $2$ 乗の平均値」として求められます。まずはデータの平均値を求めましょう。

ヒント 2

各値から平均値を引いた偏差を求め、それぞれを $2$ 乗して、その平均をとります。公式 $s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ を使ってもかまいません。

ヒント 3

平均値は $10$ で、偏差は $- 2, 2, 0, - 3, 3$ です。これらを $2$ 乗すると $4, 4, 0, 9, 9$ になります。

答えと解説

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\frac{26}{5}

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解説を読む

分散は「偏差の $2$ 乗の平均値」です。まず平均値を求め、次に各値の偏差（値 − 平均値）を求めて $2$ 乗し、その平均をとります。

手順 1：平均値を求める
$x ˉ = \frac{8 + 12 + 10 + 7 + 13}{5} = \frac{50}{5} = 10$

手順 2：各値の偏差を求める
$8 - 10 = - 2, 12 - 10 = 2, 10 - 10 = 0, 7 - 10 = - 3, 13 - 10 = 3$

手順 3：偏差を $2$ 乗する
$(- 2)^{2} = 4, 2^{2} = 4, 0^{2} = 0, (- 3)^{2} = 9, 3^{2} = 9$

手順 4：偏差の $2$ 乗の平均値をとる
$s^{2} = \frac{4 + 4 + 0 + 9 + 9}{5} = \frac{26}{5}$

別解（公式 $s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ を使う）
各値の $2$ 乗は $64, 144, 100, 49, 169$ なので、その平均値は
$x^{2} = \frac{64 + 144 + 100 + 49 + 169}{5} = \frac{526}{5}$
よって
$s^{2} = \frac{526}{5} - 1 0^{2} = \frac{526}{5} - \frac{500}{5} = \frac{26}{5}$
となり、同じ結果が得られます。

したがって、分散は $\frac{26}{5}$ です。

別解

平均は $(8 + 12 + 10 + 7 + 13) /5 = 50/5 = 10$ 。偏差は $- 2, 2, 0, - 3, 3$ で、偏差の2乗は $4, 4, 0, 9, 9$ 、その和は $26$ 。分散は $26/5 = 5.2$ 。
検算: 2乗の平均 $(64 + 144 + 100 + 49 + 169) /5 = 526/5 = 105.2$ 、平均の2乗 $100$ なので $105.2 - 100 = 5.2$ 。一致する。

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