データの分析の問題

手順 1：わかっている値を小さい順に並べる。

$x$ 以外の $5$個の値を小さい順に並べると
$$28,32,40,45,51$$
となります。

手順 2：中央値の決まり方を確認する。

データは全部で $6$ 個（偶数個）です。そのため、中央値は小さい方から $3$ 番目と $4$ 番目の値の平均値になります。

手順 3：$x$ がどの位置に入るかで場合分けする。

• $x\leqq 32$ のとき：$3$ 番目は $32$、$4$ 番目は $40$ です。中央値は $\frac{32+40}{2}=36$ となり、$42$ になりません。
• $32\leqq x\leqq 40$ のとき：$3$ 番目は $x$、$4$ 番目は $40$ です。中央値は $\frac{x+40}{2}\leqq \frac{40+40}{2}=40$ となり、$42$ になりません。
• $40\leqq x\leqq 45$ のとき：$3$ 番目は $40$、$4$ 番目は $x$ です。中央値は $\frac{40+x}{2}$ です。
• $x\geqq 45$ のとき：$3$ 番目は $40$、$4$ 番目は $45$ です。中央値は $\frac{40+45}{2}=42.5$ となり、$42$ になりません。

手順 4：条件を満たす場合を解く。

中央値が $42$ になりうるのは $40\leqq x\leqq 45$ の場合だけです。このとき
$$\frac{40+x}{2}=42$$
$$40+x=84$$
$$x=44$$
となります。$x=44$ は $40\leqq x\leqq 45$ を満たしています。

確認： $x=44$ のとき、データを並べると $28,32,40,44,45,51$ です。中央値は $\frac{40+44}{2}=42$ となり、条件に合います。

よって $x=44$ です。

x を除く5個のデータを小さい順に並べると 28, 32, 40, 45, 51 である。6個のデータの中央値は、小さい方から3番目と4番目の値の平均である。

(i) x ≤ 32 のとき、並べると 3番目は 32、4番目は 40 なので中央値は 36 で不適。
(ii) 32 < x ≤ 40 のとき、3番目は x、4番目は 40 なので中央値は (x+40)/2 ≤ 40 で不適。
(iii) 40 < x ≤ 45 のとき、3番目は 40、4番目は x なので中央値は (40+x)/2。これが 42 になるのは x = 44 のとき。44 は 40 < x ≤ 45 を満たすので適する。
(iv) x > 45 のとき、3番目は 40、4番目は 45 なので中央値は 42.5 で不適。

検算：x = 44 のとき、データは 28, 32, 40, 44, 45, 51 で、3番目と4番目は 40 と 44、平均は 42 となり条件を満たす。

よって x = 44。