ある班の 人の生徒が、先月読んだ本の冊数を調べた。冊数のデータは次のとおりである（単位は冊）。
ただし、 は 以上の整数である。このデータの中央値が 冊であるとき、 の値を求めよ。
代表値の条件を満たすデータの決定
平均値・中央値・最頻値についての条件から、未知の値の大小関係で場合分けして、データの未知の値や最大値のとりうる値を求められる
前提
- 代表値（平均値・中央値・最頻値） （数学I データの分析）
この技能までの道筋（3 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 平均と合計 （算数 いろいろな文章題）
- 平均値・中央値・最頻値 （中学数学 データの活用）
- 代表値（平均値・中央値・最頻値） （数学I データの分析）
説明
データの中に値がわからないもの（ など）が含まれていても、「平均値と中央値が等しい」「最頻値が○○である」といった代表値の条件から、その値を決めることができます。未知の値が並びのどこに入るかで中央値や最頻値の式が変わるので、大小関係で場合分けして考えるのがこの技能の中心です。テストの点数の一部が欠けている問題や、条件を満たす最大値・最小値を調べる問題で使います。
なぜそうしてよいのか
平均値は「合計 ÷ 個数」なので、未知の値 がどこにあっても の式で一通りに書けます。ところが中央値は「小さい順に並べたときの真ん中の値」なので、 が並びのどこに入るかによって、真ん中に来る値そのものが変わります。たとえば の中央値は、 が小さければ 、大きければ 、その間なら 自身です。最頻値も同じで、 がどの値と一致するかによって、いちばん多く現れる値が変わります。
そこで、 の範囲を「並び順が変わらない区間」に分けます。各区間の中では中央値（や最頻値）が一つの式に決まるので、条件は普通の方程式・不等式になり、解けます。ただし、その解は「 がその区間にある」と仮定して出したものなので、実際にその区間に入っているかを必ず確かめます。入っていなければ、その解は仮定と矛盾するので捨てます。
手順
わかっている値を小さい順に並べ、未知の値 が入りうる位置で範囲を分ける（例: , , ）。データの個数が偶数なら、真ん中の 2 つの値の平均が中央値になることに注意する。
それぞれの範囲で、中央値（または最頻値）を を使わない数か の式で表す。
平均値を で の式に表し、与えられた条件から方程式（または不等式）を立てて解く。
得られた が、その場合に仮定した範囲に入っているかを確かめ、入っていないものは捨てる。
すべての場合で残った値をまとめて答えにする。
例題
5 個の値からなるデータ がある（ は実数）。このデータの平均値と中央値が等しくなるような の値をすべて求めよ。
例題の解答
【手順1】わかっている値は小さい順に である。データは 5 個なので、 を含めて小さい順に並べたときの 3 番目が中央値である。 の位置で (i) 、(ii) 、(iii) に分ける。
【手順2】中央値は、(i) のとき 、(ii) のとき 、(iii) のとき である。
【手順3】平均値は である。
(i) より 。
(ii) より 、。
(iii) より 。
【手順4】(i) の は を満たす。(ii) の は を満たす。(iii) の は を満たす。どれも条件に合う。
（確認: のとき で平均値 、中央値 。 のとき で平均値 、中央値 。）
【手順5】まとめると、 である。
答え:
よくある誤り
を並べ替えずに、与えられた順のまま真ん中を中央値としてしまう誤り。 の 3 番目の をいつも中央値とすると しか出てこない。正しくは を含めて小さい順に並べ直し、 の位置で場合分けするので、 も答えになる。
場合分けで出た解が、仮定した範囲に入っているかを確かめない誤り。たとえば と仮定して が出たら、それは仮定と矛盾するので捨てなければならない。正しくは各場合で「解が範囲内か」を必ず確認する。
データの個数が偶数のときに、真ん中の 1 つの値を中央値としてしまう誤り。正しくは 6 個なら小さい順に 3 番目と 4 番目の平均 が中央値である。
を加えても最頻値は変わらないと思い込む誤り。たとえば で なら となり、 と がともに 2 回で、最頻値は と の 2 つになる。正しくは がどの値と一致するか（一致しないか）でも場合分けする。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
ある店の 日間の来客数（単位は人）を調べたところ、次のようになった。
ただし、 は正の整数である。このデータの中央値が 人であるとき、 の値を求めよ。6 人の生徒の通学時間を調べたところ、次のようになった（単位は分）。
ただし、 は正の実数である。このデータの中央値が 分であるとき、 の値を求めよ。
この技能を使う問題
8 人の生徒が 20 点満点の小テストを受けた。得点は次の通りである（単位は点）。
ただし、 は 0 以上 20 以下の整数である。このデータの平均値は 点であり、最頻値はただ 1 つで、その値は 点である。このデータの中央値を求めよ。次の 個の値からなるデータがある。
ただし、 は整数で とする。このデータの最頻値はただ つで であり、中央値は である。このデータの平均値を求めよ。ある図書委員会の生徒 20 人に、先月読んだ本の冊数を調べたところ、結果は次の度数分布表のようになった。ただし、 は 0 以上の整数である。
冊数 0 1 2 3 4 5 計 人数 2 3 2 1 20 冊数の平均値が 冊であるとき、冊数の中央値を求めよ。
ある 8 人の生徒が 10 点満点の小テストを受けた。得点はすべて 以上 以下の整数で、そのうち 6 人の得点は
であった。残りの 2 人の得点を とする。この 8 人の得点のデータについて、最頻値がただ 1 つに定まり、さらに平均値・中央値・最頻値の 3 つがすべて等しくなった。このとき、積 の値を求めよ。
7 人の生徒が 10 点満点の小テストを受けた。得点はすべて 以上 以下の整数であり、7 人の得点のデータについて次の 3 つの条件が成り立っていた。
- 平均値は 点である。
- 中央値は 点である。
- 最頻値はただ 1 つに定まり、その値は 点である。
7 人の得点を小さい順に並べたものを とするとき、組 として考えられるものは何通りあるか求めよ。
9 個の正の整数からなるデータがある。このデータは次の 3 つの条件をすべて満たす。
- 平均値は である。
- 中央値は である。
- 最頻値はただ 1 つに定まり、その値は である（ の個数は、ほかのどの値の個数よりも多い）。
このデータの最大値としてとりうる値のうち、最も大きいものを求めよ。
7 個の値からなるデータ
がある。ただし、 は を満たす実数である。このデータの平均値は 、四分位範囲は である。このとき、このデータの分散がとりうる値の最大値を求めよ。ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたとき、中央値より小さい側の 3 個の値の中央値を第 1 四分位数 、中央値より大きい側の 3 個の値の中央値を第 3 四分位数 とし、四分位範囲を とする。
人の生徒が小テストを受けた。得点はすべて 以上 以下の整数である。この 人の得点のデータは、次の つの条件をすべて満たしていた。
- 平均値は である。
- 中央値は である。
- 最頻値はただ つに定まり、その値は である（すなわち、 の個数は他のどの値の個数よりも多い）。
得点のデータとして考えられるものは何通りあるか求めよ。ただし、生徒の区別はせず、 個の得点の値の組（小さい順に並べたもの）が異なるものを異なるデータとして数える。