この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

データの分析の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学I データの分析

$6$ 人の生徒が小テストを受けた。得点はすべて $1$ 以上 $10$ 以下の整数である。この $6$ 人の得点のデータは、次の $3$ つの条件をすべて満たしていた。

平均値は $\frac{13}{2}$ である。
中央値は $6$ である。
最頻値はただ $1$ つに定まり、その値は $6$ である（すなわち、 $6$ の個数は他のどの値の個数よりも多い）。

得点のデータとして考えられるものは何通りあるか求めよ。ただし、生徒の区別はせず、 $6$ 個の得点の値の組（小さい順に並べたもの）が異なるものを異なるデータとして数える。

この問題で使うもの

代表値の条件を満たすデータの決定（説明と入口の問題）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

得点を小さい順に $x_{1} ≦ \dots ≦ x_{6}$ と並べ、中央値と最頻値の条件から $x_{3}, x_{4}$ を決めましょう。

ヒント 2

$x_{3} = x_{4} = 6$ となり、 $x_{1} + x_{2} + x_{5} + x_{6} = 27$ です。 $6$ 以外の値は高々 $2$ 個しか現れないことに注目し、最頻値がただ 1 つで $6$ となる条件を言い換えましょう。

ヒント 3

$x_{1}, x_{2}, x_{5}, x_{6}$ に $6$ が含まれれば条件を満たし、含まれなければ $x_{1} \neq = x_{2}$ かつ $x_{5} \neq = x_{6}$ が必要です。 $s = x_{1} + x_{2}$ は $7 ≦ s ≦ 12$ の範囲なので、 $s$ ごとに組を書き出して数えましょう。

答えと解説

答えを見る

13

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

得点を小さい順に $x_{1} ≦ x_{2} ≦ x_{3} ≦ x_{4} ≦ x_{5} ≦ x_{6}$ とする。

中央値と最頻値の条件

中央値は $\frac{x _{3} + x _{4}}{2} = 6$ より $x_{3} + x_{4} = 12$ 。最頻値が $6$ なので $6$ はデータに含まれる。 $x_{3} ≦ 6 ≦ x_{4}$ であり、もし $x_{3} < 6$ なら $6$ は $x_{4}$ 以降にしか現れず $x_{4} = 6$ 、すると $x_{3} = 6$ となり矛盾。よって $x_{3} = x_{4} = 6$ である。

平均値の条件

合計は $6 \cdot \frac{13}{2} = 39$ なので
$x_{1} + x_{2} + x_{5} + x_{6} = 39 - 12 = 27$
ここで $1 ≦ x_{1} ≦ x_{2} ≦ 6$ , $6 ≦ x_{5} ≦ x_{6} ≦ 10$ である。 $s = x_{1} + x_{2}$ , $t = x_{5} + x_{6}$ とおくと $s + t = 27$ , $2 ≦ s ≦ 12$ , $12 ≦ t ≦ 20$ より $7 ≦ s ≦ 12$ 。

最頻値がただ 1 つで 6 である条件

$6$ 以外の値は、 $x_{1}, x_{2}$ 側（ $6$ 未満）と $x_{5}, x_{6}$ 側（ $6$ より大）に分かれるので、同じ値が現れるのは同じ側の $2$ 個が等しいときだけで、個数は高々 $2$ である。
- $x_{1}, x_{2}, x_{5}, x_{6}$ のどれかが $6$ なら、 $6$ の個数は $3$ 以上となり条件を満たす。
- どれも $6$ でないなら $6$ の個数は $2$ なので、 $x_{1} \neq = x_{2}$ かつ $x_{5} \neq = x_{6}$ が必要十分。

数え上げ

$s = 7, t = 20$ ： $(x_{1}, x_{2}) = (1, 6), (2, 5), (3, 4)$ 、 $(x_{5}, x_{6}) = (10, 10)$ 。適するのは $(1, 6)$ のみ。 $1$ 通り。
$s = 8, t = 19$ ： $(2, 6), (3, 5), (4, 4)$ と $(9, 10)$ 。適するのは $(2, 6), (3, 5)$ 。 $2$ 通り。
$s = 9, t = 18$ ： $(3, 6), (4, 5)$ と $(8, 10), (9, 9)$ 。 $(3, 6)$ はどちらとも可で $2$ 通り、 $(4, 5)$ は $(8, 10)$ とのみ可で $1$ 通り。計 $3$ 通り。
$s = 10, t = 17$ ： $(4, 6), (5, 5)$ と $(7, 10), (8, 9)$ 。 $(4, 6)$ はどちらとも可で $2$ 通り、 $(5, 5)$ は不可。計 $2$ 通り。
$s = 11, t = 16$ ： $(5, 6)$ と $(6, 10), (7, 9), (8, 8)$ 。すべて可で $3$ 通り。
$s = 12, t = 15$ ： $(6, 6)$ と $(6, 9), (7, 8)$ 。すべて可で $2$ 通り。

よって全部で
$1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 = 13 通り$

別解

小さい順に $a_{1} ≦ \dots ≦ a_{6}$ とする。合計は $6 \cdot \frac{13}{2} = 39$ 、中央値より $a_{3} + a_{4} = 12$ 。
最頻値が $6$ なので $6$ がデータに含まれ、 $a_{3} ≦ 6 ≦ a_{4}$ かつ $a_{3} + a_{4} = 12$ より $a_{3} = a_{4} = 6$ 。
残り $a_{1} + a_{2} + a_{5} + a_{6} = 27$ で、 $a_{1} ≦ a_{2} ≦ 6 ≦ a_{5} ≦ a_{6} ≦ 10$ 。 $6$ の個数が他のどの値の個数よりも多いものを数える。
$a_{5} + a_{6} = t$ 、 $a_{1} + a_{2} = 27 - t$ とすると $15 ≦ t ≦ 20$ 。
- $t = 20$ : $(10, 10)$ と $(1, 6)$ のみ可（ $(2, 5), (3, 4)$ は $10$ と同数で不可）: 1通り
- $t = 19$ : $(9, 10)$ と $(2, 6)$ 、 $(3, 5)$ ( $(4, 4)$ は $6$ と同数で不可): 2通り
- $t = 18$ : $(8, 10)$ と $(3, 6), (4, 5)$ の2通り、 $(9, 9)$ と $(3, 6)$ の1通り（ $(9, 9), (4, 5)$ は不可）: 3通り
- $t = 17$ : $(7, 10), (8, 9)$ それぞれ $(4, 6)$ のみ（ $(5, 5)$ は不可）: 2通り
- $t = 16$ : $(6, 10), (7, 9), (8, 8)$ それぞれ $(5, 6)$ : 3通り
- $t = 15$ : $(6, 9), (7, 8)$ それぞれ $(6, 6)$ : 2通り
合計 $1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 = 13$ 通り。
検算: 例えば $(1, 6, 6, 6, 10, 10)$ は合計 $39$ 、中央値 $6$ 、最頻値 $6$ （3個）で条件を満たす。

データの分析の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題