データの分析の問題

条件を式にする

平均値が $6$ なので $x_1+x_2+\cdots +x_7=42$。データの個数は $7$ なので、中央値は $4$ 番目の値で $x_4=7$ である。

最頻値 $8$ は $x_4=7$ より大きいので、$8$ である値は $x_5,x_6,x_7$ の中にしかない。$8$ の個数を $k$ とすると $k\leqq 3$ である。

最頻値がただ 1 つで $8$ であるとは、「$8$ 以外のどの値の個数も $k$ 未満」ということである。$k=1$ ならすべての値が $1$ 個ずつとなり、最頻値がただ 1 つに定まらないので不適。よって $k=2$ または $k=3$ である。

(i) $k=3$ のとき

$x_5=x_6=x_7=8$ であり
$$x_1+x_2+x_3=42-7-24=11,0\leqq x_1\leqq x_2\leqq x_3\leqq 7$$
他の値の個数は $2$ 個以下でなければならない。$x_4=7$ があるので、$x_1,x_2,x_3$ のうち $7$ は $1$ 個まで、また $x_1=x_2=x_3$ は不可（和 $11$ は $3$ の倍数でないので、もともと起こらない）。

$x_3$ の値で分けて数える。
- $x_3=7$: $x_1+x_2=4$, $x_1\leqq x_2\leqq 6$ より $(0,4),(1,3),(2,2)$ の $3$ 通り（$x_2=7$ にはならない）
- $x_3=6$: $x_1+x_2=5$, $x_2\leqq 6$ より $(0,5),(1,4),(2,3)$ の $3$ 通り
- $x_3=5$: $x_1+x_2=6$, $x_2\leqq 5$ より $(1,5),(2,4),(3,3)$ の $3$ 通り
- $x_3=4$: $x_1+x_2=7$, $x_2\leqq 4$ より $(3,4)$ の $1$ 通り
- $x_3\leqq 3$: $x_1+x_2+x_3\leqq 9<11$ なので不可

どの場合も同じ値は $2$ 個以下なので条件を満たす。合計 $3+3+3+1=10$ 通り。

(ii) $k=2$ のとき

$8$ 以外の値はすべて $1$ 個ずつでなければならない。$7$ は $x_4$ の $1$ 個だけなので $x_5\ne 7$、$x_5\geqq 7$ だから $x_5\geqq 8$。したがって $x_5=x_6=8$ で、$x_7$ は $8$ でない $9$ 以上の値、すなわち $x_7=9$ または $10$ である。また $x_1<x_2<x_3\leqq 6$（互いに異なり、$7$ でない）。

$x_1+x_2+x_3=42-7-16-x_7=19-x_7$ である。

- $x_7=9$ のとき、和は $10$。$0$ 以上 $6$ 以下の異なる 3 つの整数で和が $10$ のものは
$$\{0,4,6\},\{1,3,6\},\{1,4,5\},\{2,3,5\}$$
の $4$ 通り。
- $x_7=10$ のとき、和は $9$。同様に
$$\{0,3,6\},\{0,4,5\},\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$$
の $5$ 通り。

合計 $4+5=9$ 通り。

まとめ

(i), (ii) より、求める組の数は
$$10+9=19(\text{通り})$$

中央値は $x_4=7$。平均値が 6 なので合計は $42$ で、$x_1+x_2+x_3=L,x_5+x_6+x_7=H$ とおくと $L+7+H=42$、すなわち $L+H=35$。$x_5,x_6,x_7\in \{7,8,9,10\}$、$x_1\leqq x_2\leqq x_3\leqq 7$。
最頻値が 8 だけなので、8 は低い側（$x_1,x_2,x_3\leqq 7$）と $x_4=7$ には現れず、$x_5,x_6,x_7$ にだけ現れる。7 個のデータで 8 の個数が 1 個だと、ほかの値の個数が 0 個以下にならず（7 が少なくとも 1 個ある）最頻値にならないので、8 は 2 個または 3 個。

[1] 8 が 3 個のとき $(x_5,x_6,x_7)=(8,8,8)$、$H=24$、$L=11$。8 は 3 個なので、ほかの値は 3 個未満であればよい。7 は $x_4$ と合わせて 3 個未満、つまり $x_1,x_2,x_3$ に 7 は高々 1 個。$a\leqq b\leqq c\leqq 7$ で $a+b+c=11$:
- $c=7$: $(0,4,7),(1,3,7),(2,2,7)$ の 3 通り
- $c=6$: $(0,5,6),(1,4,6),(2,3,6)$ の 3 通り
- $c=5$: $(1,5,5),(2,4,5),(3,3,5)$ の 3 通り
- $c=4$: $(3,4,4)$ の 1 通り
- $c\leqq 3$: 和が最大 9 で不適
同じ値が 3 個そろうものはない（11 は 3 の倍数でない）ので、計 $10$ 通り。

[2] 8 が 2 個のとき、ほかの値はすべて 1 個以下でなければならない。
- $(7,8,8)$: 7 が $x_4,x_5$ の 2 個で 8 と同数になり不適。
- $(8,8,9)$: $H=25,L=10$。$x_1<x_2<x_3\leqq 6$（7 は既に $x_4$ にあるので使えず、重複もなし）で和が 10: $(0,4,6),(1,3,6),(1,4,5),(2,3,5)$ の 4 通り。
- $(8,8,10)$: $H=26,L=9$。$x_1<x_2<x_3\leqq 6$ で和が 9: $(0,3,6),(0,4,5),(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4)$ の 5 通り。
計 $9$ 通り。

[1][2] より $10+9=19$ 通り。
検算: 例 $(0,4,7,7,8,8,8)$ は合計 42、平均 6、中央値 $x_4=7$、最頻値 8（3 個、7 は 2 個）。$(1,4,5,7,8,8,9)$ は合計 42、中央値 7、8 が 2 個で他は 1 個以下。どちらも条件を満たす。