データの分析の問題

$x$ のデータの標準偏差を $s_x$（$s_x>0$）とする。

$a,b$ を $s_x$ で表す

$y=ax+b$ と変換すると、平均値は $a\cdot 70+b$、標準偏差は $a>0$ より $a{s}_x$ になる。条件から
$$70a+b=50,a{s}_x=10$$
よって
$$a=\frac{10}{s_x},b=50-70a=50-\frac{700}{s_x}$$
$b$ は $s_x$ が大きいほど大きい。したがって、$s_x$ のとりうる最大値を求めればよい。

鍵: 得点の範囲から分散を上から押さえる

各 $i$ について $0\leqq x_i\leqq 100$ なので
$$x_i(100-x_i)\geqq 0$$
である。これを $i=1,2,\dots ,40$ について足して $40$ で割ると
$$100\cdot \overline{x}-\overline{x^2}\geqq 0$$
ここで $\overline{x}=70$ は平均値、$\overline{x^2}$ は $x_i^2$ の平均値である。よって $\overline{x^2}\leqq 7000$。
分散は $s_x^2=\overline{x^2}-(\overline{x}{)}^2$ なので
$$s_x^2\leqq 7000-4900=2100$$
すなわち $s_x\leqq \sqrt{2100}=10\sqrt{21}$。

等号が成り立つデータ

等号が成り立つのは、すべての $i$ で $x_i(100-x_i)=0$、つまり各得点が $0$ 点か $100$ 点のときである。平均値が $70$ になるには、$100$ 点の人数を $k$ として $\frac{100k}{40}=70$、つまり $k=28$。$100$ 点が $28$ 人、$0$ 点が $12$ 人のデータは条件を満たし、このとき
$$s_x^2=\frac{28\cdot 30^2+12\cdot 70^2}{40}=\frac{25200+58800}{40}=2100$$
となり、確かに $s_x=10\sqrt{21}$ がとれる。

$b$ の最大値

$s_x=10\sqrt{21}$ のとき $a=\frac{10}{10\sqrt{21}}=\frac{1}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{21}$ で
$$b=50-70\cdot \frac{\sqrt{21}}{21}=50-\frac{10\sqrt{21}}{3}$$
（$\sqrt{21}\fallingdotseq 4.583$ より、およそ $34.72$ である。）

したがって、$b$ の最大値は $50-\frac{10\sqrt{21}}{3}$ である。

変換後の平均値より $70a+b=50$ なので $b=50-70a$。よって $b$ を最大にするには $a$ を最小にすればよい。

得点の標準偏差を $s$（$s>0$、すべて等しくないので）とすると、変換後の標準偏差は $as=10$ より $a=\frac{10}{s}$。したがって $a$ が最小になるのは $s$ が最大のとき。

$0\le x_i\le 100$、平均 $70$ のとき、$(x_i-0)(100-x_i)\ge 0$ より $x_i^2\le 100x_i$。両辺を 40 個について平均すると、
$\overline{x^2}\le 100\cdot 70=7000$。
分散 $s^2=\overline{x^2}-70^2\le 7000-4900=2100$。
等号は各 $x_i$ が $0$ または $100$ のときに成り立つ。平均が $70$ なので $100$ 点が $28$ 人、$0$ 点が $12$ 人のとき（$\frac{100\times 28}{40}=70$）で、実際に達成できる。このとき $s=\sqrt{2100}=10\sqrt{21}$。

よって $a$ の最小値は $\frac{10}{10\sqrt{21}}=\frac{1}{\sqrt{21}}$（$a>0$ を満たす）。

$b=50-70\cdot \frac{1}{\sqrt{21}}=50-\frac{70\sqrt{21}}{21}=50-\frac{10\sqrt{21}}{3}$。

検算: $a=\frac{1}{\sqrt{21}}$、$b=50-\frac{70}{\sqrt{21}}$ のとき、$y$ の平均は $70a+b=50$、標準偏差は $a\cdot 10\sqrt{21}=10$ で条件を満たす。数値は $b\approx 50-15.28=34.72$。