データの分析の問題

既知の 6 個の値 $0,2,5,6,8,10$ はすべて異なり、その和は $0+2+5+6+8+10=31$ である。8 個の値の平均値は $\frac{31+a+b}{8}$ である。

最頻値がただ 1 つに定まる場合の整理

$a,b$ と既知の 6 個の値の関係で、次のように場合分けする。

• $a\ne b$ で、$a,b$ がどちらも既知の値と異なる場合：8 個の値はすべて 1 個ずつになる。最も個数の多い値が 8 個あるので、最頻値はただ 1 つに定まらず不適。
• $a\ne b$ で、$a,b$ がどちらも既知の値のいずれかと一致する場合：2 個ずつ現れる値が 2 種類できる。最頻値は 2 つになるので不適。
• $a=b$ の場合：$a$ は 2 個以上現れ、ほかの値はすべて 1 個なので、最頻値は $a$ だけになる。
• $a\ne b$ で、一方だけが既知の値と一致する場合：一致した値 $m$ が 2 個、ほかの値は 1 個なので、最頻値は $m$ だけになる。

したがって、次の 2 つの場合を調べればよい。

(1) $a=b=m$ のとき

最頻値は $m$ である。平均値が $m$ に等しいので
$$\frac{31+2m}{8}=m⟹31+2m=8m⟹6m=31$$
となる。$m$ は整数なので、これを満たす $m$ はない。よって不適。

(2) 一方が既知の値 $m$ と一致し、他方 $c$ は既知の値とも $m$ とも異なるとき

最頻値は $m$ で、$m\in \{0,2,5,6,8,10\}$ である。平均値が $m$ に等しいので
$$\frac{31+m+c}{8}=m⟹c=7m-31$$
となる。$m$ の各値について $c$ を計算すると次のとおりである。

• $m=0$ のとき $c=-31$
• $m=2$ のとき $c=-17$
• $m=5$ のとき $c=4$
• $m=6$ のとき $c=11$
• $m=8$ のとき $c=25$
• $m=10$ のとき $c=39$

$0\leqq c\leqq 10$ を満たすのは $m=5,c=4$ だけである。$c=4$ は既知の値とも $5$ とも異なるので、条件を満たしている。

中央値の確認

このとき、データを小さい順に並べると
$$0,2,4,5,5,6,8,10$$
となる。

• 中央値は 4 番目と 5 番目の平均で $\frac{5+5}{2}=5$ である。
• 平均値は $\frac{40}{8}=5$ である。
• 最頻値は $5$ である。

3 つとも $5$ で等しく、条件をすべて満たす。

$a\leqq b$ より $a=4,b=5$ なので、
$$ab=20$$

6人の得点 0,2,5,6,8,10 はどれも1回ずつ現れる。最頻値がただ1つに定まるのは次の場合である。
(i) $a=b$ のとき、最頻値は $a$。
(ii) $a,b$ の一方が既存の値 $m$ に等しく、もう一方 $c$ は既存の値でも $m$ でもない値のとき、最頻値は $m$。
(一方が既存の値で他方も別の既存の値だと最頻値が2つになり、両方が新しい異なる値だと最頻値は6個の値すべてで1回ずつになり不適。)

平均値 = 最頻値 $=m$ とおく。合計は $0+2+5+6+8+10=31$ である。
(i) $a=b=m$ のとき $31+2m=8m$ より $m=31/6$。整数でないので不適。
(ii) $31+m+c=8m$ より $c=7m-31$。$m\in \{0,2,5,6,8,10\}$ を調べると、$0\le c\le 10$ を満たすのは $m=5$ のときの $c=4$ だけである($m=6$ なら $c=11$、$m=2$ なら $c=-17$ などで不適)。$c=4$ は既存の値でも $m$ でもないので条件を満たす。

検算: データは $0,2,4,5,5,6,8,10$。平均値は $40/8=5$。中央値は4番目と5番目が共に5なので5。最頻値は5で唯一。よって $a=4,b=5$ で、$ab=20$。