データの分析の問題

平均値の条件

平均値が $7$ 点なので、8 人の合計は $7\times 8=56$ 点である。既知の 6 つの値の合計は
$$2+4+5+8+10+12=41$$
であるから、
$$a+b=56-41=15(1)$$

最頻値の条件

既知の 6 つの値 $2,4,5,8,10,12$ はどれも 1 回ずつしか現れない。

• $a,b$ がどちらも $8$ でない場合、$8$ は 1 回しか現れない。$a=b$ ならその値が 2 回現れて $8$ より多くなる。$a\ne b$ なら、どの値も高々 2 回であり、$8$ より多く現れる値か、$8$ と同じ 1 回しか現れない値が他にもあるため、最頻値が $8$ だけになることはない。
• したがって、$a,b$ の少なくとも一方は $8$ である。

$a=b=8$ とすると $a+b=16$ となり、$(1)$ に反する。よって、一方が $8$、もう一方は $(1)$ より $15-8=7$ である。

このとき、$8$ は 2 回、$7$ を含む他の値はすべて 1 回ずつ現れるので、最頻値はただ 1 つで $8$ となり、条件を満たす。

中央値

データを小さい順に並べると
$$2,4,5,7,8,8,10,12$$
となる。データの個数は 8 個（偶数）なので、中央値は 4 番目と 5 番目の値の平均である。
$$\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}$$

よって、中央値は $\frac{15}{2}$ 点である。

既知の 6 個の得点の合計は $2+4+5+8+10+12=41$ である。平均が 7 点で 8 人なので、合計は $56$ となり、$a+b=15$ である。

最頻値がただ 1 つで 8 点であるためには、8 の個数が他のどの値の個数よりも多くなければならない。既知の 6 個では各値が 1 個ずつなので、$a,b$ の少なくとも一方が 8 でなければならない。

$a=b=8$ とすると $a+b=16$ となり不適。そこで一方が 8 とすると、もう一方は $15-8=7$ である。このとき 8 が 2 個、他は 1 個ずつなので、最頻値は 8 だけである。

（$a,b$ がともに 8 以外なら 8 は 1 個のままで、他に同数の値が並ぶか、最頻値が 8 に定まらない。）

データを小さい順に並べると $2,4,5,7,8,8,10,12$ である。8 個なので、中央値は 4 番目と 5 番目の平均で $(7+8)/2=\frac{15}{2}$ となる。

検算：合計は $2+4+5+7+8+8+10+12=56$ で、$56/8=7$ となり条件に合う。