データの分析の問題
次の 個の値からなるデータがある。
ただし、 は整数で とする。このデータの最頻値はただ つで であり、中央値は である。このデータの平均値を求めよ。
この問題で使うもの
- 代表値の条件を満たすデータの決定（説明と入口の問題）
- 代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（4 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
まず最頻値の条件から、 のうちどれが でなければならないかを考えましょう。
ヒント 2
の一方だけが になります。他方を とおき、 がどの範囲にあるかで場合分けしてください。 個のデータの中央値は、小さい方から 番目と 番目の値の平均です。
ヒント 3
データは です。 のときに限り、中央値は となり、 になり得ます。
答えと解説
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解説を読む
最頻値の条件から考える。
を除いた 個の値 はすべて異なる。
- のどちらも でないとき、 は 回しか現れない。一方、 個の値は 種類以上あるので、ある値が 回以上現れるか、すべての値が 回ずつ現れる。どちらの場合も、 だけが最も多く現れるということはない。したがって、 の少なくとも一方は である。
- のとき、データを小さい順に並べると となる。中央値は 番目と 番目の平均 となり、条件に合わない。
よって、 の一方だけが である。他方を とすると、 である。さらに が のどれかであれば、その値も 回現れて最頻値が つになる。したがって、 はこれらのどれとも異なる。
中央値の条件から考える。
データは である。 個なので、中央値は小さい方から 番目と 番目の値の平均である。
- のとき：小さい順に 個の値（ を並べたもの）、、、、… となる。中央値は で、条件に合わない。
- のとき： となる。中央値は である。 より となり、 を満たす。
- のとき： となる。中央値は で、条件に合わない。
よって である。 より となる。
確かめ： データ では、 だけが 回現れるので最頻値はただ つで である。中央値は となり、条件をすべて満たす。
平均値を求める。
したがって、平均値は である。
別解
最頻値が なので、 は 回以上現れる必要がある。既存の値に は つだけなので、 の少なくとも一方は である。 より、 か、 かで場合分けする。
(i) のとき、 である。小さい順に並べると となり、 番目と 番目はともに 。中央値は となり、条件の に合わない。
(ii) 、 のとき、 以外のデータは である。中央値は 番目と 番目の平均である。
- のとき、 番目が 、 番目が なので中央値は となり不適。
- のとき、 が 回現れて最頻値が と の つになり不適。
- のとき、並びは で、 番目が 、 番目が 。中央値 より 。これは を満たす。
よって 。データは で、 だけが 回現れるので最頻値は のみ。中央値は で条件を満たす。
合計は なので、平均値は 。