データの分析の問題

手順 1：平均値を $x$ で表す。

$$\bar{x}=\frac{2+4+6+x}{4}=\frac{12+x}{4}$$

手順 2：2 乗の平均を $x$ で表す。

$$\overline{x^2}=\frac{2^2+4^2+6^2+x^2}{4}=\frac{56+x^2}{4}$$

手順 3：公式 $s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ を使い、分散を $x$ の 2 次関数で表す。

$$s^2=\frac{56+x^2}{4}-\frac{(12+x{)}^2}{16}=\frac{224+4x^2-(144+24x+x^2)}{16}=\frac{3x^2-24x+80}{16}$$

手順 4：平方完成する。

$$3x^2-24x+80=3(x^2-8x)+80=3(x-4{)}^2-48+80=3(x-4{)}^2+32$$

よって
$$s^2=\frac{3(x-4{)}^2+32}{16}$$

これは $x$ の 2 次関数で、グラフは下に凸、軸は $x=4$ である。

手順 5：定義域 $0\leqq x\leqq 10$ での最大値を求める。

下に凸のグラフでは、軸から遠い端で最大になる。軸 $x=4$ から端までの距離は次のとおりである。

• $x=0$ までは $4$
• $x=10$ までは $6$

したがって、$x=10$ で最大となる。

$$s^2=\frac{3\cdot 6^2+32}{16}=\frac{108+32}{16}=\frac{140}{16}=\frac{35}{4}$$

（確認：$x=10$ のとき、データ $2,4,6,10$ の平均値は $5.5$ である。偏差の 2 乗は $12.25,2.25,0.25,20.25$ で、その和は $35$ となる。これを $4$ で割ると分散は $\frac{35}{4}$ となり、一致する。）

以上より、分散の最大値は $\frac{35}{4}$ である。

平均は $\bar{x}=\frac{12+x}{4}$。分散は (2乗の平均) − (平均の2乗) より
$$s^2=\frac{4+16+36+x^2}{4}-{\left(\frac{12+x}{4}\right)}^2=\frac{4(56+x^2)-(144+24x+x^2)}{16}=\frac{3x^2-24x+80}{16}.$$
平方完成すると $s^2=\frac{3(x-4{)}^2+32}{16}$。これは下に凸の放物線で、$0\leqq x\leqq 10$ では軸 $x=4$ から遠い端点 $x=10$ で最大となる。
$x=0$ のとき $s^2=\frac{80}{16}=5$、$x=10$ のとき $s^2=\frac{300-240+80}{16}=\frac{140}{16}=\frac{35}{4}$。
検算: データ $2,4,6,10$ の平均は $5.5$、偏差は $-3.5,-1.5,0.5,4.5$、偏差の2乗和は $12.25+2.25+0.25+20.25=35$、$35÷4=\frac{35}{4}$。
よって最大値は $\frac{35}{4}$（$x=10$ のとき）。