データの分析の問題

手順1: 平均値の条件から $a+b$ を求める。

平均値が $7$ なので、データの総和は $5\times 7=35$ である。よって
$$5+8+9+a+b=35$$
$$a+b=13(1)$$

手順2: 分散の条件から $a^2+b^2$ を求める。

分散は $\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ で求められるので、2 乗の平均値を $\overline{x^2}$ とすると
$$\overline{x^2}-7^2=2\text{より}\overline{x^2}=51$$
したがって、2 乗の総和は $5\times 51=255$ である。よって
$$5^2+8^2+9^2+a^2+b^2=255$$
$$25+64+81+a^2+b^2=255$$
$$a^2+b^2=85(2)$$

手順3: 連立方程式を解く。

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ に $(1)$, $(2)$ を代入すると
$$85=13^2-2ab=169-2ab$$
$$ab=42$$
よって、$a$, $b$ は和が $13$、積が $42$ の 2 数であり、2 次方程式
$$t^2-13t+42=0$$
の 2 つの解である。左辺を因数分解すると $(t-6)(t-7)=0$ より $t=6,7$。

$a<b$ であるから $a=6$, $b=7$。

（確認: データ $5,8,9,6,7$ の偏差は $-2,1,2,-1,0$ で、偏差の 2 乗の和は $4+1+4+1+0=10$、分散は $10÷5=2$ となり条件を満たす。）

答え: $b=7$

平均値が $7$ なので、合計は $35$ である。$5+8+9+a+b=35$ より $a+b=13$。
分散が $2$ なので、偏差の2乗の和は $5\times 2=10$ である。
偏差は $-2,1,2,a-7,b-7$ で、うち前の3つの2乗の和は $4+1+4=9$。
よって $(a-7{)}^2+(b-7{)}^2=1$ となる。
$a-7=p,b-7=q$ とおくと、$p+q=13-14=-1$、$p^2+q^2=1$ である。
$pq=\frac{(p+q{)}^2-(p^2+q^2)}{2}=\frac{1-1}{2}=0$。
$p=0,q=-1$ または $p=-1,q=0$ となる。
$a<b$ より $p<q$ なので、$p=-1,q=0$。
よって $a=6,b=7$。
検算：データは $5,8,9,6,7$ で、合計 $35$、平均 $7$。偏差の2乗は $4,1,4,1,0$ で合計 $10$、分散 $10/5=2$。条件を満たす。