データの分析の問題

手順 1：平均値の条件から $a+b$ を求める。

平均値が $6$ なので
$$\frac{4+6+7+a+b}{5}=6$$
よって $17+a+b=30$ より
$$a+b=13\cdots (1)$$

手順 2：分散の条件から $a^2+b^2$ を求める。

分散は $\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$（2 乗の平均値 $-$ 平均値の 2 乗）で求められる。分散が $6$、平均値が $6$ なので
$$\overline{x^2}-6^2=6\text{より}\overline{x^2}=42$$
したがって、データの 2 乗の合計は $5\times 42=210$ である。
$$4^2+6^2+7^2+a^2+b^2=210$$
$$16+36+49+a^2+b^2=210$$
$$a^2+b^2=109\cdots (2)$$

手順 3：$ab$ を求める。

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ を使うと、$(1)$, $(2)$ より
$$109=13^2-2ab=169-2ab$$
$$2ab=60\text{より}ab=30$$

手順 4：$a$, $b$ を求める。

$a+b=13$, $ab=30$ であるから、$a$, $b$ は 2 次方程式
$$t^2-13t+30=0$$
の 2 つの解である。左辺を因数分解すると $(t-3)(t-10)=0$ となり、$t=3,10$。

$a<b$ より $a=3$, $b=10$。

確かめ： データ $4,6,7,3,10$ の合計は $30$ で平均値 $6$。偏差は $-2,0,1,-3,4$ で、その 2 乗の合計は $4+0+1+9+16=30$ なので分散は $30÷5=6$。条件を満たす。

よって $b=10$。

平均値が $6$ なので $(4+6+7+a+b)/5=6$ より $a+b=13$。
分散は (2乗の平均)−(平均)${}^2$ で求める。これが $6$ なので $(16+36+49+a^2+b^2)/5-36=6$。よって $101+a^2+b^2=210$ となり $a^2+b^2=109$。
$ab=\{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)\}/2=(169-109)/2=30$。
$a,b$ は $t^2-13t+30=0$ の解で、$(t-3)(t-10)=0$ より $t=3,10$。$a<b$ なので $a=3,b=10$。
検算：データ $4,6,7,3,10$ の平均は $30/5=6$。偏差は $-2,0,1,-3,4$ で、2乗の和は $4+0+1+9+16=30$、分散は $30/5=6$ となり条件を満たす。