データの分析の問題

手順 1：平均値を求める

データの合計は
$$2+6+a+(12-a)=20$$
で、$a$ によらず一定です。よって平均値は
$$\frac{20}{4}=5$$
です。

手順 2：分散を $a$ の 2 次関数で表す

各値の偏差は $2-5=-3$, $6-5=1$, $a-5$, $(12-a)-5=7-a$ です。偏差の 2 乗の和は
$$(-3{)}^2+1^2+(a-5{)}^2+(7-a{)}^2=9+1+(a^2-10a+25)+(a^2-14a+49)=2a^2-24a+84$$
です。分散を $V$ とすると
$$V=\frac{2a^2-24a+84}{4}=\frac{1}{2}{a}^2-6a+21$$
となります。

手順 3：平方完成する
$$V=\frac{1}{2}(a^2-12a)+21=\frac{1}{2}\{(a-6{)}^2-36\}+21=\frac{1}{2}(a-6{)}^2+3$$
よって、$V$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $a=6$ です。

手順 4：範囲 $1\leqq a\leqq 4$ での最大値を求める

軸 $a=6$ は範囲 $1\leqq a\leqq 4$ の右側にあるので、この範囲で $V$ は $a$ が増えると減少します。したがって、$V$ は軸から最も遠い $a=1$ で最大となり、
$$V=\frac{1}{2}(1-6{)}^2+3=\frac{25}{2}+3=\frac{31}{2}$$

（確認：$a=1$ のときデータは $2,6,1,11$ で、偏差は $-3,1,-4,6$。偏差の 2 乗の和は $9+1+16+36=62$ なので、分散は $\frac{62}{4}=\frac{31}{2}$ となり一致します。）

よって、分散の最大値は $\frac{31}{2}$ です。

平均は $\frac{2+6+a+(12-a)}{4}=5$ で、$a$ によらず一定である。

分散は
$$V=\frac{(2-5{)}^2+(6-5{)}^2+(a-5{)}^2+(7-a{)}^2}{4}=\frac{10+(2a^2-24a+74)}{4}=\frac{a^2-12a+42}{2}$$
と表せる。

平方完成すると $V=\frac{(a-6{)}^2+6}{2}$ となる。これは $a<6$ で単調に減少するので、$1\leqq a\leqq 4$ では $a=1$ のとき最大になる。

このとき $V=\frac{1-12+42}{2}=\frac{31}{2}$ である。

検算：$a=1$ のときデータは $2,6,1,11$ で、平均は $5$ である。偏差の2乗和は $9+1+16+36=62$ なので、分散は $62/4=15.5=\frac{31}{2}$ となり、上の結果と一致する。