データの分析の問題

手順 1：平均値を $x$ で表す。

データの合計は $2+4+6+8+x=20+x$ なので、平均値は
$$\bar{X}=\frac{20+x}{5}$$
である。

手順 2：2 乗の平均値を $x$ で表す。

各値の 2 乗の合計は $4+16+36+64+x^2=120+x^2$ なので、2 乗の平均値は
$$\overline{X^2}=\frac{120+x^2}{5}$$
である。

手順 3：分散を $x$ の 2 次関数で表す。

分散を $s^2$ とすると、公式 $s^2=\overline{X^2}-(\bar{X}{)}^2$ より
$$s^2=\frac{120+x^2}{5}-{\left(\frac{20+x}{5}\right)}^2=\frac{5(120+x^2)-(20+x{)}^2}{25}$$
となる。分子を計算すると
$$5(120+x^2)-(20+x{)}^2=600+5x^2-(400+40x+x^2)=4x^2-40x+200$$
であるから
$$s^2=\frac{4x^2-40x+200}{25}=\frac{4}{25}(x^2-10x+50)$$
となる。

手順 4：平方完成して最小値を求める。

$x^2-10x+50=(x-5{)}^2-25+50=(x-5{)}^2+25$ より
$$s^2=\frac{4}{25}\{(x-5{)}^2+25\}=\frac{4}{25}(x-5{)}^2+4$$
となる。$(x-5{)}^2\geqq 0$ であり、等号は $x=5$ のときに成り立つ。したがって、$s^2$ は $x=5$ のとき最小値 $4$ をとる。

確認： $x=5$ のとき、データは $2,4,6,8,5$ で平均値は $5$ である。偏差は $-3,-1,1,3,0$ なので、分散は $\frac{9+1+1+9+0}{5}=4$ となり、結果と一致する。

答え：$4$

データの平均は $\frac{20+x}{5}$、2乗の平均は $\frac{120+x^2}{5}$ である。
分散 $=\frac{120+x^2}{5}-{\left(\frac{20+x}{5}\right)}^2=\frac{5(120+x^2)-(20+x{)}^2}{25}=\frac{4x^2-40x+200}{25}=\frac{4\{(x-5{)}^2+25\}}{25}$。
よって $x=5$ のとき最小で、最小値は $\frac{4\cdot 25}{25}=4$。
検算：$x=5$ のとき平均は 5、偏差の2乗は $9,1,1,9,0$ で和が 20、分散は $20/5=4$ で一致する。