分散の最大・最小

未知の値を含むデータの分散を 1 つの文字の 2 次関数で表し、値のとりうる範囲での最大値・最小値を平方完成で求められる

前提

平均・分散の条件から未知の値を決める（数学I データの分析）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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平均・分散の条件から未知の値を決める（数学I データの分析）
定義域つきの2次関数の最大・最小（数学I 2次関数）

説明

データの中に値のわからない数 $x$ が含まれていて、その $x$ がある範囲を動くとき、分散がいちばん大きくなるのはいつか、いちばん小さくなるのはいつかを調べる技能です。分散を $x$ の 2 次関数として表し、平方完成をしたうえで、定義域つきの 2 次関数の最大・最小の考え方で答えを出します。未知の値が $a, b$ の 2 つあっても、 $a + b$ が決まっていれば 1 つの文字にまとめて同じように扱えます。

なぜそうしてよいのか

分散は「2 乗の平均 − 平均の 2 乗」で計算できます。 $n$ 個のデータのうち 1 つが $x$ で、残りが決まった値だとします。このとき、データの合計は $x$ の 1 次式です。2 乗の合計は $x^{2}$ を含む 2 次式です。したがって $s^{2} = \frac{( 2 乗の合計 )}{n} - (\frac{( 合計 )}{n})^{2}$ は $x$ の 2 次式になります。 $x^{2}$ の係数は $\frac{1}{n} - \frac{1}{n ^{2}} = \frac{n - 1}{n ^{2}}$ で、 $n ≧ 2$ なら正です。つまり分散のグラフは下に凸な放物線です。

下に凸なので、最小値の候補は頂点、最大値の候補は定義域の端です。ただし頂点が定義域の外にあれば、最小値も端でとります。直観的には、 $x$ を残りのデータの平均に近づけるほど散らばりが小さくなり、平均から遠ざけるほど散らばりが大きくなります。実際、1 つだけが $x$ の場合、頂点の $x$ は残りのデータの平均値になります。

未知の値が $a, b$ の 2 つで $a + b = k$ と決まっている場合は、 $b = k - a$ を代入します。すると文字は $a$ だけになり、同じ方法が使えます。

手順

未知の値を 1 つの文字（例えば $x$ ）で表し、その文字のとりうる範囲（定義域）を確認する。 $a + b = k$ のような条件があれば $b = k - a$ と置き換え、 $a$ の範囲も求める。
データの合計と、各値の 2 乗の合計を、その文字の式で表す。
分散を $s^{2} = \frac{( 2 乗の合計 )}{n} - (\frac{( 合計 )}{n})^{2}$ で計算し、文字の 2 次式に整理する。
平方完成して $s^{2} = p (x - q)^{2} + r$ の形にし、頂点 $x = q$ を求める。
頂点が定義域に入るかを確かめ、頂点での値と定義域の両端での値を比べて、最大値・最小値を決める。

例題

4 個のデータ $2, 4, 6, x$ がある。 $x$ が $0 ≦ x ≦ 10$ の範囲を動くとき、このデータの分散の最大値と最小値を順に求めよ。

例題の解答

手順 1：未知の値は $x$ の 1 つで、定義域は $0 ≦ x ≦ 10$ です。

手順 2：データの合計は $2 + 4 + 6 + x = 12 + x$ です。2 乗の合計は $4 + 16 + 36 + x^{2} = 56 + x^{2}$ です。

手順 3：分散は次のようになります。
$s^{2} = \frac{56 + x ^{2}}{4} - (\frac{12 + x}{4})^{2} = \frac{4 ( 56 + x ^{2} ) - ( 12 + x ) ^{2}}{16}$
$= \frac{224 + 4 x ^{2} - 144 - 24 x - x ^{2}}{16} = \frac{3 x ^{2} - 24 x + 80}{16}$

手順 4：平方完成すると $3 x^{2} - 24 x + 80 = 3 (x - 4)^{2} + 32$ なので、
$s^{2} = \frac{3 ( x - 4 ) ^{2} + 32}{16} = \frac{3}{16} (x - 4)^{2} + 2$
です。頂点は $x = 4$ で、このグラフは下に凸です。

手順 5：頂点 $x = 4$ は定義域 $0 ≦ x ≦ 10$ に入るので、最小値は $x = 4$ のときの $2$ です。 $x = 4$ は残りのデータ $2, 4, 6$ の平均値と一致しています。
最大値は定義域の両端で比べます。
- $x = 0$ のとき $s^{2} = \frac{3}{16} \cdot 16 + 2 = 5$
- $x = 10$ のとき $s^{2} = \frac{3}{16} \cdot 36 + 2 = \frac{27}{4} + 2 = \frac{35}{4}$

頂点から遠いのは $x = 10$ なので、最大値は $x = 10$ のときの $\frac{35}{4}$ です。

（確認： $x = 10$ のとき平均は $5.5$ です。偏差の 2 乗は $12.25, 2.25, 0.25, 20.25$ で、その和は $35$ です。分散は $\frac{35}{4}$ となり、一致します。）

よって、最大値は $\frac{35}{4}$ （ $x = 10$ のとき）、最小値は $2$ （ $x = 4$ のとき）です。

答え: $(\frac{35}{4}, 2)$

よくある誤り

平均値を定数のように扱ってしまう誤り。平均値も $x$ によって変わります。例題では平均は $\frac{12 + x}{4}$ であり、分散には $(\frac{12 + x}{4})^{2}$ を引く必要があります。
平均の 2 乗を引くときに分母をそろえ損なう誤り。例えば $\frac{56 + x ^{2}}{4} - \frac{( 12 + x ) ^{2}}{4}$ としてしまう誤りです。正しくは $(\frac{12 + x}{4})^{2} = \frac{( 12 + x ) ^{2}}{16}$ なので、通分して $\frac{4 ( 56 + x ^{2} ) - ( 12 + x ) ^{2}}{16}$ とします。
最大値も頂点でとると考えてしまう誤り。分散のグラフは下に凸なので、頂点でとるのは最小値です。最大値は定義域の端でとります。例題では $x = 0$ での値 $5$ と $x = 10$ での値 $\frac{35}{4}$ を比べて、大きいほうを答えます。
頂点が定義域の外にあるのに、頂点の値を最小値としてしまう誤り。例えば例題で定義域が $5 ≦ x ≦ 10$ なら、頂点 $x = 4$ は範囲外です。この場合、最小値は $x = 5$ のときの $\frac{3}{16} + 2 = \frac{35}{16}$ です。また $a + b = k$ で $b = k - a$ と置き換えたときは、 $b$ の条件（例えば $b ≧ 0$ ）から決まる $a$ の範囲も忘れずに定義域に含めます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

分散の最大・最小

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