データの分析の問題

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=70,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=530$$
である。正の定数 $a$ と定数 $b$ を用いて $y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、$y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $100$ になった。

さらに $x_{11}=12$ とし、同じ式で $y_{11}=a{x}_{11}+b$ と定める。このとき、$11$ 個のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{11}$ の分散を求めよ。

10 個の値からなる変量 $x$ のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、その分散は $4$ である。正の定数 $a$ を用いて、新しい変量 $y$ を
$$y_i=a{x}_i+2(i=1,2,\dots ,10)$$
で定める。$y$ のデータの平均値は $17$ であり、$y_1^2,y_2^2,\dots ,y_{10}^2$ の平均値は $325$ であった。

このとき、$\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2$ の値を求めよ。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次のことがわかっている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=64,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=232,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=584,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=288$$

このとき、$x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$x_1+x_2+\cdots +x_{10}=120,x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{10}^2=1600$$
であった。

定数 $a,b$（ただし $a<0$）を用いて、新しい変量 $y$ を $y=ax+b$ で定める。変量 $y$ のデータ $y_i=a{x}_i+b$ $(i=1,2,\dots ,10)$ の平均値が $40$、標準偏差が $8$ となるとき、定数 $b$ の値を求めよ。

$1$ から $9$ までの整数を $1$ 回ずつ並べた列 $a_1,a_2,\dots ,a_9$ が、すべての $i=1,2,\dots ,9$ について $a_i\ne i$ を満たしている。$2$ つの変量 $x,y$ の $9$ 個のデータの組を
$$(x_i,y_i)=(i,a_i)(i=1,2,\dots ,9)$$
とするとき、$x$ と $y$ の相関係数として考えられる値の最大値を求めよ。