データの分析の問題

10 個の値からなる変量 $x$ のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、その分散は $4$ である。正の定数 $a$ を用いて、新しい変量 $y$ を
$$y_i=a{x}_i+2(i=1,2,\dots ,10)$$
で定める。$y$ のデータの平均値は $17$ であり、$y_1^2,y_2^2,\dots ,y_{10}^2$ の平均値は $325$ であった。

このとき、$\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2$ の値を求めよ。

10 人の生徒が受けたテストの得点を $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ とする。これらについて
$$\sum _{k=1}^{10}{x}_k=620,\sum _{k=1}^{10}{x}_k^2=39160$$
が成り立っている。

定数 $a,b$（$a>0$）を用いて、各得点を $y_k=a{x}_k+b(k=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $162$ になった。このとき、$b$ の値を求めよ。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=70,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=530$$
である。正の定数 $a$ と定数 $b$ を用いて $y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、$y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $100$ になった。

さらに $x_{11}=12$ とし、同じ式で $y_{11}=a{x}_{11}+b$ と定める。このとき、$11$ 個のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{11}$ の分散を求めよ。

$2$ つの変量 $x,y$ について、$10$ 個のデータの組 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_{10},y_{10})$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=50,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=80,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=290,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=730,\sum _{i=1}^{10}{x}_i{y}_i=380$$
であった。

実数 $t$ に対し、新しい変量 $w$ を $w=x+ty$ で定める（すなわち $w_i=x_i+t{y}_i$）。$w$ の分散が最小となるように $t$ を定めたとき、変量 $x$ と変量 $w$ の相関係数を求めよ。

次の $8$ 個の値からなるデータがある。
$$3,5,6,9,12,15,a,b$$
ただし、$a,b$ は整数で $a\leqq b$ とする。このデータの最頻値はただ $1$ つで $9$ であり、中央値は $8$ である。このデータの平均値を求めよ。