データの分析の問題

$x$ の平均値と分散

$x_1,\dots ,x_{10}$ の平均値を $\overline{x}$、分散を $s_x^2$ とすると
$$\overline{x}=\frac{70}{10}=7,s_x^2=\frac{530}{10}-7^2=53-49=4$$
である。

$a,b$ の決定

$y=ax+b$ と変換すると、平均値は $a\overline{x}+b$、分散は $a^2{s}_x^2$ になる。したがって
$$7a+b=50,4a^2=100$$
である。$a>0$ より $a=5$、よって $b=50-35=15$ となる。

$y_{11}$ の値

$$y_{11}=5\cdot 12+15=75$$

$y_1,\dots ,y_{10}$ の和と 2 乗の和

平均値が $50$ なので
$$\sum _{i=1}^{10}{y}_i=10\cdot 50=500$$
である。分散が $100$ なので $\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2-50^2=100$ が成り立ち、
$$\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=10(100+2500)=26000$$
となる。

$11$ 個のデータの和と 2 乗の和

$$\sum _{i=1}^{11}{y}_i=500+75=575,\sum _{i=1}^{11}{y}_i^2=26000+75^2=26000+5625=31625$$

分散の計算

$$\frac{31625}{11}-{\left(\frac{575}{11}\right)}^2=\frac{31625\cdot 11-330625}{121}=\frac{347875-330625}{121}=\frac{17250}{121}$$

検算（偏差の 2 乗の和で確かめる）

$y_1,\dots ,y_{10}$ の偏差の 2 乗の和は $10\cdot 100=1000$ である。新しい平均値は $\frac{575}{11}$ で、もとの平均値 $50$ との差は $\frac{25}{11}$、$y_{11}$ との差は $75-\frac{575}{11}=\frac{250}{11}$ である。よって新しい平均値のまわりの偏差の 2 乗の和は
$$1000+10{\left(\frac{25}{11}\right)}^2+{\left(\frac{250}{11}\right)}^2=1000+\frac{6250+62500}{121}=1000+\frac{6250}{11}=\frac{17250}{11}$$
となる。これを $11$ で割ると $\frac{17250}{121}$ となり、一致する。

答えは $\frac{17250}{121}$ である。

$x$ の平均は $70/10=7$、分散は $530/10-7^2=53-49=4$ である。
$y_i=a{x}_i+b$ の分散は $a^2\cdot 4=100$ で、$a>0$ より $a=5$ となる。
平均は $5\cdot 7+b=50$ より $b=15$ である。
よって $y_{11}=5\cdot 12+15=75$ となる。

新しい $11$ 個の $x$ について、
$\sum x=70+12=82$、$\sum x^2=530+144=674$ である。
分散は $\frac{674}{11}-{\left(\frac{82}{11}\right)}^2=\frac{674\cdot 11-6724}{121}=\frac{7414-6724}{121}=\frac{690}{121}$ となる。
$y$ の分散は $a^2=25$ 倍なので $25\cdot \frac{690}{121}=\frac{17250}{121}$ である。

検算として $y$ で直接計算する。
$\sum y=500+75=575$、$\sum y^2=10(100+50^2)+75^2=26000+5625=31625$ である。
分散は $\frac{31625}{11}-{\left(\frac{575}{11}\right)}^2=\frac{347875-330625}{121}=\frac{17250}{121}$ となり、一致する。