データの分析の問題

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=70,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=530$$
である。正の定数 $a$ と定数 $b$ を用いて $y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、$y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $100$ になった。

さらに $x_{11}=12$ とし、同じ式で $y_{11}=a{x}_{11}+b$ と定める。このとき、$11$ 個のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{11}$ の分散を求めよ。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$x_1+x_2+\cdots +x_{10}=120,x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{10}^2=1600$$
であった。

定数 $a,b$（ただし $a<0$）を用いて、新しい変量 $y$ を $y=ax+b$ で定める。変量 $y$ のデータ $y_i=a{x}_i+b$ $(i=1,2,\dots ,10)$ の平均値が $40$、標準偏差が $8$ となるとき、定数 $b$ の値を求めよ。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次のことがわかっている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=64,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=232,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=584,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=288$$

このとき、$x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

40 人の生徒が 100 点満点のテストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $100$ 以下の実数で、40 人の得点のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{40}$ の平均値は $70$ 点であった。ただし、すべての得点が等しいことはないものとする。

この得点を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,40)$$
と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{40}$ の平均値は $50$、標準偏差は $10$ になった。ただし、標準偏差は分散（データの各値と平均値の差の 2 乗の平均値）の正の平方根とする。得点のデータとしてありうるものすべてを考えるとき、$b$ のとりうる値の最大値を求めよ。

ある 10 人のテストの得点を、A 組 6 人と B 組 4 人に分けて集計した。A 組 6 人の得点の平均値は $50$ 点、分散は $16$ であった。B 組 4 人の得点の平均値は $60$ 点、分散は $36$ であった。このとき、10 人全体の得点の標準偏差を求めよ。ただし、分散は偏差の 2 乗の平均値とする。