データの分析の問題

あるクラスの生徒 $10$ 人を、グループ A の $6$ 人とグループ B の $4$ 人に分け、それぞれの通学時間（分）を調べた。グループ A の $6$ 人の通学時間の平均値は $15$、標準偏差は $2$ であった。グループ B の $4$ 人の通学時間の平均値は $20$、標準偏差は $3$ であった。このとき、$10$ 人全体の通学時間の標準偏差を求めよ。

10 人の生徒が受けたテストの得点を $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ とする。これらについて
$$\sum _{k=1}^{10}{x}_k=620,\sum _{k=1}^{10}{x}_k^2=39160$$
が成り立っている。

定数 $a,b$（$a>0$）を用いて、各得点を $y_k=a{x}_k+b(k=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $162$ になった。このとき、$b$ の値を求めよ。

5 人の生徒に 2 種類の小テストを行い、それぞれの得点を変量 $x$, $y$ として次の表にまとめた。ただし、$a$, $b$ は $a<b$ を満たす実数である。

変量 $y$ の平均値は $6$、分散は $6$ である。このとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。ただし、分散と共分散は、偏差の 2 乗の和や偏差の積の和をデータの個数 $5$ で割ったものとする。

A組 $20$ 人と B組 $30$ 人が同じテストを受けた。A組の得点の平均値は $50$ 点、分散は $100$ であり、B組の得点の平均値は $60$ 点、分散は $60$ であった。

A組の各生徒の得点 $x$ だけを、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y=ax+b$$
により $y$ に変換した。変換後の A組の得点 $y$ と、変換していない B組の得点を合わせた $50$ 人分のデータの平均値は $58$ 点、分散は $132$ となった。

A組で元の得点が $70$ 点であった生徒の、変換後の得点を求めよ。ただし、分散は偏差の $2$ 乗の平均値とする。

ある生徒が $10$ 点満点の小テストを $9$ 回受けた。$9$ 回の得点のデータの平均値は $5$ 点、分散は $4$ であった。その後、この生徒は $10$ 回目の小テストを受け、得点は $10$ 点であった。$10$ 回分の得点のデータの分散を求めよ。