データの分析の問題

ある高校で、生徒 10 人に 2 種類のテストを行い、テスト 1 の得点を $x$、テスト 2 の得点を $y$ とした。10 人は、6 人のグループ A と 4 人のグループ B に分かれており、各グループの結果は次の通りであった。

• グループ A（6 人）: $x$ の平均値 $5$、$y$ の平均値 $6$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.5$
• グループ B（4 人）: $x$ の平均値 $10$、$y$ の平均値 $11$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.25$

ただし、分散・標準偏差・共分散は、いずれも偏差の積（または偏差の 2 乗）の総和をデータの個数で割ったものとする。

10 人全体のデータにおける $x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

ある 10 人のテストの得点を、A 組 6 人と B 組 4 人に分けて集計した。A 組 6 人の得点の平均値は $50$ 点、分散は $16$ であった。B 組 4 人の得点の平均値は $60$ 点、分散は $36$ であった。このとき、10 人全体の得点の標準偏差を求めよ。ただし、分散は偏差の 2 乗の平均値とする。

40 人の生徒が 100 点満点のテストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $100$ 以下の実数で、40 人の得点のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{40}$ の平均値は $70$ 点であった。ただし、すべての得点が等しいことはないものとする。

この得点を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,40)$$
と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{40}$ の平均値は $50$、標準偏差は $10$ になった。ただし、標準偏差は分散（データの各値と平均値の差の 2 乗の平均値）の正の平方根とする。得点のデータとしてありうるものすべてを考えるとき、$b$ のとりうる値の最大値を求めよ。

ある 8 人の生徒が 10 点満点の小テストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $10$ 以下の整数で、そのうち 6 人の得点は
$$0,2,5,6,8,10$$
であった。残りの 2 人の得点を $a,b$ $(a\leqq b)$ とする。

この 8 人の得点のデータについて、最頻値がただ 1 つに定まり、さらに平均値・中央値・最頻値の 3 つがすべて等しくなった。このとき、積 $ab$ の値を求めよ。

7 人の生徒が 10 点満点の小テストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $10$ 以下の整数であり、7 人の得点のデータについて次の 3 つの条件が成り立っていた。

• 平均値は $6$ 点である。
• 中央値は $7$ 点である。
• 最頻値はただ 1 つに定まり、その値は $8$ 点である。

7 人の得点を小さい順に並べたものを $x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_7$ とするとき、組 $(x_1,x_2,\dots ,x_7)$ として考えられるものは何通りあるか求めよ。