データの分析の問題

分散・共分散について、$\overline{x^2}$ を $x^2$ の平均値、$\overline{xy}$ を $xy$ の平均値として
$$s_x^2=\overline{x^2}-{\bar{x}}^2,s_{xy}=\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}$$
が成り立つ。これを用いて、各グループの $x^2,y^2,xy$ の総和を求める。

各グループの共分散

相関係数 $r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$ より $s_{xy}=r{s}_x{s}_y$ である。

グループ A: $s_{xy}=-0.5\times 2\times 2=-2$

グループ B: $s_{xy}=-0.25\times 2\times 2=-1$

総和の計算

グループ A（6 人）:
$$\sum x^2=6(4+5^2)=174,\sum y^2=6(4+6^2)=240,\sum xy=6(-2+5\cdot 6)=168$$
$$\sum x=6\cdot 5=30,\sum y=6\cdot 6=36$$

グループ B（4 人）:
$$\sum x^2=4(4+10^2)=416,\sum y^2=4(4+11^2)=500,\sum xy=4(-1+10\cdot 11)=436$$
$$\sum x=4\cdot 10=40,\sum y=4\cdot 11=44$$

全体（10 人）

平均値: $\bar{x}=\frac{30+40}{10}=7,\bar{y}=\frac{36+44}{10}=8$

$x$ の分散: $\frac{174+416}{10}-7^2=59-49=10$

$y$ の分散: $\frac{240+500}{10}-8^2=74-64=10$

共分散: $\frac{168+436}{10}-7\cdot 8=60.4-56=4.4$

したがって、全体の相関係数は
$$r=\frac{4.4}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\frac{4.4}{10}=0.44=\frac{11}{25}$$

各グループ内では負の相関であるが、グループ B の方が $x,y$ ともに平均値が大きいため、全体では正の相関になる。

答え: $\frac{11}{25}$

各グループの共分散は、相関係数×(xの標準偏差)×(yの標準偏差)で求める。

A: $s_{xy}=-0.5\cdot 2\cdot 2=-2$
B: $s_{xy}=-0.25\cdot 2\cdot 2=-1$

全体の平均は次のとおり。
$\bar{x}=(6\cdot 5+4\cdot 10)/10=7$
$\bar{y}=(6\cdot 6+4\cdot 11)/10=8$

全体の分散は、(各グループの分散＋平均のずれの2乗)を人数で重み付けして平均する。
$x$ の分散: $\{6(4+(5-7{)}^2)+4(4+(10-7{)}^2)\}/10=(48+52)/10=10$
$y$ の分散: $\{6(4+(6-8{)}^2)+4(4+(11-8{)}^2)\}/10=(48+52)/10=10$

全体の共分散は、(各グループの共分散＋平均のずれの積)を人数で重み付けして平均する。
$\{6(-2+(-2)(-2))+4(-1+3\cdot 3)\}/10=(12+32)/10=4.4$

相関係数は $4.4/\sqrt{10\cdot 10}=0.44=\frac{11}{25}$。

検算として、$\sum x^2$ などを使った別の計算でも分散が 10 になることを確認した。例えば A の $\sum x^2=6(4+25)=174$、B の $\sum x^2=4(4+100)=416$ で、合計 590。よって $590/10-49=10$ となり一致する。