データの分析の問題

あるテストを A 組の生徒 $20$ 人と B 組の生徒 $30$ 人が受けた。A 組の得点 $x$ のデータは平均値 $44$、分散 $100$ であり、B 組の得点のデータは平均値 $70$、分散 $40$ であった。

採点基準をそろえるため、A 組の各生徒の得点 $x$ を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて $y=ax+b$ に変換した。変換後の A 組 $20$ 人の得点 $y$ と、B 組 $30$ 人の得点（変換しない）を合わせた $50$ 人のデータは、平均値が $66$、分散が $138$ となった。

このとき、定数 $b$ の値を求めよ。

40 人の生徒が 100 点満点のテストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $100$ 以下の実数で、40 人の得点のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{40}$ の平均値は $70$ 点であった。ただし、すべての得点が等しいことはないものとする。

この得点を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,40)$$
と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{40}$ の平均値は $50$、標準偏差は $10$ になった。ただし、標準偏差は分散（データの各値と平均値の差の 2 乗の平均値）の正の平方根とする。得点のデータとしてありうるものすべてを考えるとき、$b$ のとりうる値の最大値を求めよ。

ある 10 人のテストの得点を、A 組 6 人と B 組 4 人に分けて集計した。A 組 6 人の得点の平均値は $50$ 点、分散は $16$ であった。B 組 4 人の得点の平均値は $60$ 点、分散は $36$ であった。このとき、10 人全体の得点の標準偏差を求めよ。ただし、分散は偏差の 2 乗の平均値とする。

ある高校で、生徒 10 人に 2 種類のテストを行い、テスト 1 の得点を $x$、テスト 2 の得点を $y$ とした。10 人は、6 人のグループ A と 4 人のグループ B に分かれており、各グループの結果は次の通りであった。

• グループ A（6 人）: $x$ の平均値 $5$、$y$ の平均値 $6$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.5$
• グループ B（4 人）: $x$ の平均値 $10$、$y$ の平均値 $11$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.25$

ただし、分散・標準偏差・共分散は、いずれも偏差の積（または偏差の 2 乗）の総和をデータの個数で割ったものとする。

10 人全体のデータにおける $x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

$9$ 個の実数からなるデータ $x_1,x_2,\dots ,x_9$ があり、その平均値は $50$、標準偏差は $4$ である。

このデータの四分位範囲としてとりうる値の最大値を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたとき、中央値（小さい方から $5$ 番目の値）より小さい側の $4$ 個の値の中央値を第 $1$ 四分位数、大きい側の $4$ 個の値の中央値を第 $3$ 四分位数とし、四分位範囲は（第 $3$ 四分位数）$-$（第 $1$ 四分位数）とする。また、分散は偏差の $2$ 乗の平均値、標準偏差は分散の正の平方根とする。