データの分析の問題

変換後の A 組のデータ

$y=ax+b$ と変換すると、平均値は $a\cdot 44+b$、分散は $a^2\cdot 100$ になる。そこで $m=44a+b$ とおくと、変換後の A 組の平均値は $m$、分散は $100a^2$ である。

合わせたデータの平均値から $m$ を求める

$50$ 人の得点の合計を考えると
$$\frac{20m+30\cdot 70}{50}=66$$
となる。分母を払って $20m+2100=3300$ より $m=60$ である。

合わせたデータの分散から $a$ を求める

(分散)$=$(2乗の平均値)$-$(平均値)${}^2$ を用いる。

変換後の A 組の $y^2$ の平均値は $100a^2+60^2=100a^2+3600$ である。

B 組の得点の 2 乗の平均値は $40+70^2=4940$ である。

よって、$50$ 人の得点の 2 乗の平均値は
$$\frac{20(100a^2+3600)+30\cdot 4940}{50}=\frac{2000a^2+72000+148200}{50}=40a^2+4404$$
である。したがって、$50$ 人の分散は
$$40a^2+4404-66^2=40a^2+4404-4356=40a^2+48$$
となる。これが $138$ に等しいので、$40a^2=90$、すなわち $a^2=\frac{9}{4}$ である。$a>0$ より $a=\frac{3}{2}$ となる。

$b$ を求める

$44a+b=60$ より
$$b=60-44\cdot \frac{3}{2}=60-66=-6$$

検算

変換後の A 組は平均値 $60$、分散 $225$ である。

• 組内の分散の加重平均: $\frac{20\cdot 225+30\cdot 40}{50}=\frac{4500+1200}{50}=114$
• 組の平均値どうしの散らばり: $\frac{20(60-66{)}^2+30(70-66{)}^2}{50}=\frac{720+480}{50}=24$

合計は $114+24=138$ となり、条件に一致する。

したがって $b=-6$ である。

変換後の A 組の平均値を $m$、分散を $s^2$ とすると、$m=44a+b$、$s^2=100a^2$ である。

全体の平均値について、$\frac{20m+30\cdot 70}{50}=66$ より $20m+2100=3300$ となり、$m=60$ を得る。

全体の分散は「各組の分散の平均」と「各組の平均値の分散」の和で求める。
- 各組の分散の平均は $\frac{20\cdot 100a^2+30\cdot 40}{50}=40a^2+24$。
- 各組の平均値の分散は $\frac{20(60-66{)}^2+30(70-66{)}^2}{50}=\frac{720+480}{50}=24$。

よって $40a^2+24+24=138$ より $a^2=\frac{9}{4}$。$a>0$ なので $a=\frac{3}{2}$ である。

$44a+b=60$ に代入すると $66+b=60$ なので $b=-6$。

検算：変換後の A 組は平均値 $60$、分散 $100\cdot \frac{9}{4}=225$ である。2 乗の平均は A 組が $225+3600=3825$、B 組が $40+4900=4940$ なので、全体では $\frac{20\cdot 3825+30\cdot 4940}{50}=4494$。分散は $4494-66^2=4494-4356=138$ となり、条件に合う。