変量の変換と平均・分散

ある都市で、$7$ 日間の最高気温を摂氏（単位は ℃）で記録したデータを変量 $x$ とする。$x$ のデータの分散は $25$ であった。

この $7$ 日間の最高気温を華氏（単位は °F）で表した値を変量 $y$ とすると、
$$y=\frac{9}{5}x+32$$
が成り立つ。変量 $y$ のデータの分散を求めよ。

ある町で $7$ 日間、毎日正午の気温を摂氏（${}^{\circ }\mathrm{C}$）で測った。その値を変量 $x$ とすると、$x$ のデータの標準偏差は $5$ であった。

この気温を華氏（${}^{\circ }\mathrm{F}$）に直した値を変量 $y$ とすると、各日について
$$y=\frac{9}{5}x+32$$
が成り立つ。$y$ のデータの分散を求めよ。

ある地点で $10$ 日間、正午の気温を摂氏（単位 ${}^{\circ }\mathrm{C}$）で測った。その変量を $x$ とすると、$x$ のデータの平均値は $15$、分散は $4$ であった。

この気温を華氏（単位 ${}^{\circ }\mathrm{F}$）で表した変量を $y$ とすると、
$$y=\frac{9}{5}x+32$$
という関係がある。$y$ のデータの標準偏差を求めよ。

10 人の生徒が受けたテストの得点を $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ とする。これらについて
$$\sum _{k=1}^{10}{x}_k=620,\sum _{k=1}^{10}{x}_k^2=39160$$
が成り立っている。

定数 $a,b$（$a>0$）を用いて、各得点を $y_k=a{x}_k+b(k=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $162$ になった。このとき、$b$ の値を求めよ。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$x_1+x_2+\cdots +x_{10}=120,x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{10}^2=1600$$
であった。

定数 $a,b$（ただし $a<0$）を用いて、新しい変量 $y$ を $y=ax+b$ で定める。変量 $y$ のデータ $y_i=a{x}_i+b$ $(i=1,2,\dots ,10)$ の平均値が $40$、標準偏差が $8$ となるとき、定数 $b$ の値を求めよ。

変量 $x$ について $10$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=70,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=530$$
である。正の定数 $a$ と定数 $b$ を用いて $y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,10)$ と変換したところ、$y_1,y_2,\dots ,y_{10}$ の平均値は $50$、分散は $100$ になった。

さらに $x_{11}=12$ とし、同じ式で $y_{11}=a{x}_{11}+b$ と定める。このとき、$11$ 個のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{11}$ の分散を求めよ。

10 個の値からなる変量 $x$ のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ があり、その分散は $4$ である。正の定数 $a$ を用いて、新しい変量 $y$ を
$$y_i=a{x}_i+2(i=1,2,\dots ,10)$$
で定める。$y$ のデータの平均値は $17$ であり、$y_1^2,y_2^2,\dots ,y_{10}^2$ の平均値は $325$ であった。

このとき、$\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2$ の値を求めよ。

40 人の生徒が 100 点満点のテストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $100$ 以下の実数で、40 人の得点のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_{40}$ の平均値は $70$ 点であった。ただし、すべての得点が等しいことはないものとする。

この得点を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y_i=a{x}_i+b(i=1,2,\dots ,40)$$
と変換したところ、変換後のデータ $y_1,y_2,\dots ,y_{40}$ の平均値は $50$、標準偏差は $10$ になった。ただし、標準偏差は分散（データの各値と平均値の差の 2 乗の平均値）の正の平方根とする。得点のデータとしてありうるものすべてを考えるとき、$b$ のとりうる値の最大値を求めよ。

A組 $20$ 人と B組 $30$ 人が同じテストを受けた。A組の得点の平均値は $50$ 点、分散は $100$ であり、B組の得点の平均値は $60$ 点、分散は $60$ であった。

A組の各生徒の得点 $x$ だけを、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて
$$y=ax+b$$
により $y$ に変換した。変換後の A組の得点 $y$ と、変換していない B組の得点を合わせた $50$ 人分のデータの平均値は $58$ 点、分散は $132$ となった。

A組で元の得点が $70$ 点であった生徒の、変換後の得点を求めよ。ただし、分散は偏差の $2$ 乗の平均値とする。

$n$ 個の値からなるデータがあり、その平均値は $10$、標準偏差は $3$ である。このデータに $2$ つの値 $16,22$ を加えて、$n+2$ 個の値からなるデータを作ったところ、その標準偏差は $\frac{9}{2}$ になった。正の整数 $n$ の値を求めよ。

あるテストを A 組の生徒 $20$ 人と B 組の生徒 $30$ 人が受けた。A 組の得点 $x$ のデータは平均値 $44$、分散 $100$ であり、B 組の得点のデータは平均値 $70$、分散 $40$ であった。

採点基準をそろえるため、A 組の各生徒の得点 $x$ を、定数 $a,b$（$a>0$）を用いて $y=ax+b$ に変換した。変換後の A 組 $20$ 人の得点 $y$ と、B 組 $30$ 人の得点（変換しない）を合わせた $50$ 人のデータは、平均値が $66$、分散が $138$ となった。

このとき、定数 $b$ の値を求めよ。