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データの分析の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I データの分析

ある町で $7$ 日間、毎日正午の気温を摂氏（ $^{\circ} C$ ）で測った。その値を変量 $x$ とすると、 $x$ のデータの標準偏差は $5$ であった。

この気温を華氏（ $^{\circ} F$ ）に直した値を変量 $y$ とすると、各日について
$y = \frac{9}{5} x + 32$
が成り立つ。 $y$ のデータの分散を求めよ。

この問題で使うもの

変量の変換と平均・分散（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

変量の変換 $y = a x + b$ による分散の変わり方の公式を使います。足し算の $32$ は分散に影響するでしょうか。

ヒント 2

$y = a x + b$ のとき、 $y$ の分散は $x$ の分散の $a^{2}$ 倍になります（ $b$ は関係しません）。

ヒント 3

$x$ の分散は標準偏差の $2$ 乗なので $5^{2} = 25$ です。これに $(\frac{9}{5})^{2}$ を掛けます。

答えと解説

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81

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解説を読む

変量 $x$ を $y = a x + b$ （ $a, b$ は定数）と変換すると、平均・分散・標準偏差は次のように変わる。
$y ˉ = a x ˉ + b, s_{y}^{2} = a^{2} s_{x}^{2}, s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$
すべての値に同じ数 $b$ を足しても、データ全体が平行移動するだけで散らばりは変わらないので、分散には $b$ は関係しない。一方、 $a$ 倍すると偏差も $a$ 倍になり、偏差の $2$ 乗は $a^{2}$ 倍になるので、分散は $a^{2}$ 倍になる。

今回は $a = \frac{9}{5}$ 、 $b = 32$ である。

まず、 $x$ のデータの分散を求める。標準偏差が $5$ なので
$s_{x}^{2} = 5^{2} = 25$

よって、 $y$ のデータの分散は
$s_{y}^{2} = (\frac{9}{5})^{2} \times 25 = \frac{81}{25} \times 25 = 81$

（参考： $y$ のデータの標準偏差は $81 = 9$ で、 $\frac{9}{5} \times 5 = 9$ とも一致する。）

答えは $81$ である。

別解

$y = \frac{9}{5} x + 32$ なので、 $y$ の標準偏差は $\frac{9}{5} \times 5 = 9$ である（定数 $32$ を加えても散らばりは変わらない）。よって $y$ の分散は $9^{2} = 81$ である。

検算： $x$ の分散は $5^{2} = 25$ で、 $y$ の分散は $(\frac{9}{5})^{2} \times 25 = \frac{81}{25} \times 25 = 81$ となり、一致する。

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