データの分析の問題

方針　データを $1$ 個追加したときは、平均値や分散をそのまま足し合わせることはできない。そこで、もとの $9$ 人のデータから「値の合計」と「値の $2$ 乗の合計」を求め、それに追加する値を加える。最後に公式 $(\text{分散})=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ を使う。

手順 1：もとの $9$ 人の合計と $2$ 乗の合計

$9$ 人の冊数を $x_1,x_2,\dots ,x_9$ とする。平均値が $5$ なので
$$x_1+x_2+\cdots +x_9=9\times 5=45$$
分散が $10$ なので、$\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2=10$ より
$$\overline{x^2}=10+5^2=35$$
したがって
$$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_9^2=9\times 35=315$$

手順 2：$15$ を加える

$10$ 人の値の合計は $45+15=60$、値の $2$ 乗の合計は $315+15^2=315+225=540$ である。

手順 3：$10$ 人の平均値と分散

平均値は $\frac{60}{10}=6$、値の $2$ 乗の平均値は $\frac{540}{10}=54$ である。よって分散は
$$54-6^2=54-36=18$$

答えは $18$ である。

9人について、平均 $\bar{x}=5$、分散 $10$ なので、$\sum x_i=45$、$\sum x_i^2=9(10+5^2)=315$。
15冊の生徒を加えると、10人の合計は $45+15=60$ なので、平均は $6$。
2乗の和は $315+15^2=315+225=540$。
分散は $\frac{540}{10}-6^2=54-36=18$。

検算：偏差の2乗和で計算する。9人の偏差2乗和は $9\cdot 10=90$。新しい平均は $6$ で、元の9人の平均 $5$ とのずれは $1$ なので、9人の分は $90+9\cdot 1^2=99$。新しい生徒の分は $(15-6{)}^2=81$。合計は $180$ で、$180/10=18$。一致する。