この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

データの分析の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I データの分析

9 人の生徒が 1 か月に読んだ本の冊数を調べたところ、その平均値は $6$ 冊、分散は $4$ であった。ここに、1 か月に $16$ 冊読んだ生徒 1 人のデータを加えて、10 人のデータを作った。この 10 人のデータの分散を求めよ。

この問題で使うもの

グループを合わせたデータの平均・分散（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「グループを合わせたデータの平均・分散」の技能を使います。分散の公式 $s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ を使えるように、合計と 2 乗の合計を考えましょう。

ヒント 2

もとの 9 人について、値の合計は $9 \times 6$ で求まります。2 乗の平均値は $x^{2} = s^{2} + (x ˉ)^{2}$ で求まります。

ヒント 3

9 人の値の合計は $54$ 、2 乗の合計は $9 \times 40 = 360$ です。16 を加えると、合計は $70$ 、2 乗の合計は $616$ になります。あとは 10 で割って公式に当てはめましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{63}{5}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

分散の公式 $s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ を使います。全体の分散を求めるには、まず 10 人分の「値の合計」と「値の 2 乗の合計」を求めます。

手順 1：もとの 9 人の合計を求める

平均値が $6$ なので、値の合計は
$\sum x_{k} = 9 \times 6 = 54$
です。

手順 2：もとの 9 人の 2 乗の合計を求める

$s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ より $x^{2} = s^{2} + (x ˉ)^{2} = 4 + 6^{2} = 40$ です。したがって、2 乗の合計は
$\sum x_{k}^{2} = 9 \times 40 = 360$
です。

手順 3：16 冊のデータを加える

値の合計は $54 + 16 = 70$ 、2 乗の合計は $360 + 1 6^{2} = 360 + 256 = 616$ になります。

手順 4：10 人の平均値と 2 乗の平均値を求める

$x ˉ = \frac{70}{10} = 7, x^{2} = \frac{616}{10} = \frac{308}{5}$

手順 5：分散を求める

$s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2} = \frac{308}{5} - 49 = \frac{308 - 245}{5} = \frac{63}{5}$

よって、10 人のデータの分散は $\frac{63}{5}$ です。

別解

9人の平均値は6、分散は4なので、 $\sum x_{i} = 54$ 、 $\sum x_{i}^{2} = 9 (4 + 36) = 360$ 。
16冊のデータを加えると、10人の合計は $54 + 16 = 70$ なので平均値は $7$ 。
2乗の和は $360 + 256 = 616$ なので、2乗の平均は $61.6$ 。
分散 $= 61.6 - 7^{2} = 61.6 - 49 = 12.6 = \frac{63}{5}$ 。
検算：偏差で考えると、9人の偏差の2乗和は $9 \cdot 4 = 36$ 。新しい平均7からの偏差は、9人分で平均6との差が $- 1$ ずれるので、2乗和は $36 + 9 \cdot 1 = 45$ 。加えた人は $(16 - 7)^{2} = 81$ 。合計 $126$ 、10で割って $12.6$ 。一致する。

データの分析の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題