データの分析の問題

$9$ 回の得点を $x_1,x_2,\dots ,x_9$ とし、$10$ 回目の得点を $x_{10}=10$ とする。

手順 1：$9$ 回分の得点の合計を求める。
平均値が $5$ なので
$$x_1+x_2+\cdots +x_9=9\times 5=45$$

手順 2：$9$ 回分の得点の $2$ 乗の合計を求める。
分散は $\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ で表されるので、$9$ 回分の $2$ 乗の平均値 $\overline{x^2}$ について
$$4=\overline{x^2}-5^2\text{より}\overline{x^2}=4+25=29$$
したがって
$$x_1^2+x_2^2+\cdots +x_9^2=9\times 29=261$$

手順 3：$10$ 回目の値を加える。
$$x_1+\cdots +x_{10}=45+10=55,x_1^2+\cdots +x_{10}^2=261+10^2=361$$

手順 4：$10$ 回分の平均値と $2$ 乗の平均値を求める。
$$\bar{x}=\frac{55}{10}=\frac{11}{2},\overline{x^2}=\frac{361}{10}$$

手順 5：分散の公式に代入する。
$$s^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2=\frac{361}{10}-\frac{121}{4}=\frac{722}{20}-\frac{605}{20}=\frac{117}{20}$$

よって求める分散は $\frac{117}{20}$ である。

9回のデータについて、合計は $9\times 5=45$、分散が4なので $\sum x_i^2/9-5^2=4$ より $\sum x_i^2=9\times 29=261$。
10回目の得点10点を加えると、合計は $55$、平方和は $261+100=361$。
平均値は $55/10=5.5$。
分散は $361/10-5.5^2=36.1-30.25=5.85=\frac{117}{20}$。
検算：平均が5から5.5に変わる。分散は $\frac{9\cdot 4+1\cdot 0}{10}+\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{10}\cdot (10-5{)}^2=3.6+2.25=5.85$ となり一致する。