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データの分析の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I データの分析

ある $5$ 人の生徒が $10$ 点満点の小テストを受けたところ、得点は次のようになった。 $4, 7, 5, 9, 10 (点)$ このデータの分散を求めよ。

この問題で使うもの

分散と標準偏差（説明と入口の問題）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「分散と標準偏差」の技能を使います。分散は「偏差の $2$ 乗の平均値」です。まず平均値を求めましょう。

ヒント 2

平均値を $x ˉ$ とすると、分散は $s^{2} = \frac{1}{5} {(x_{1} - x ˉ)^{2} + \dots + (x_{5} - x ˉ)^{2}}$ です。 $s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ を使ってもかまいません。

ヒント 3

平均値は $7$ で、偏差は $- 3, 0, - 2, 2, 3$ です。これらを $2$ 乗して平均をとりましょう。

答えと解説

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\frac{26}{5}

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解説を読む

手順 1：平均値を求める。

$x ˉ = \frac{4 + 7 + 5 + 9 + 10}{5} = \frac{35}{5} = 7$

手順 2：各値の偏差（値 $-$ 平均値）を求める。

$4 - 7 = - 3, 7 - 7 = 0, 5 - 7 = - 2, 9 - 7 = 2, 10 - 7 = 3$

手順 3：偏差の $2$ 乗を求める。

$(- 3)^{2} = 9, 0^{2} = 0, (- 2)^{2} = 4, 2^{2} = 4, 3^{2} = 9$

手順 4：偏差の $2$ 乗の平均値を求める。これが分散である。

$s^{2} = \frac{9 + 0 + 4 + 4 + 9}{5} = \frac{26}{5}$

別解（公式 $s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ を使う）

各値の $2$ 乗は $16, 49, 25, 81, 100$ であるから、 $2$ 乗の平均値は
$x^{2} = \frac{16 + 49 + 25 + 81 + 100}{5} = \frac{271}{5}$
よって
$s^{2} = \frac{271}{5} - 7^{2} = \frac{271}{5} - \frac{245}{5} = \frac{26}{5}$

どちらの方法でも分散は $\frac{26}{5}$ である。

別解

平均は $(4 + 7 + 5 + 9 + 10) /5 = 35/5 = 7$ 。偏差は $- 3, 0, - 2, 2, 3$ 、偏差の2乗は $9, 0, 4, 4, 9$ で、その和は $26$ 。分散は $26/5 = 5.2$ 。検算：2乗の平均は $(16 + 49 + 25 + 81 + 100) /5 = 271/5 = 54.2$ で、 $54.2 - 7^{2} = 5.2$ となり一致する。

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