データの分析の問題

方針　中央値は、データを小さい順に並べたときの真ん中の値です。$x$ がどこに入るかで並び順が変わるので、$x$ の大きさで場合を分けて中央値を表し、条件「中央値 $=10$」を満たす場合を探します。

手順 1：中央値の決め方を確認する
データの個数は $6$ 個（偶数）なので、中央値は小さい順に並べたときの $3$ 番目と $4$ 番目の値の平均値です。

$x$ 以外の値を小さい順に並べると $4,7,9,12,15$ です。

手順 2：$x$ の位置で場合を分ける

(i) $x\leqq 9$ のとき
小さい順に並べると、$3$ 番目と $4$ 番目の値の一方は $9$ で、もう一方は $9$ 以下です。
したがって中央値は $9$ 以下となり、$10$ にはなりません。

(ii) $9\leqq x\leqq 12$ のとき
小さい順に並べると $4,7,9,x,12,15$ です。$3$ 番目は $9$、$4$ 番目は $x$ なので
$$\text{中央値}=\frac{9+x}{2}$$
です。これが $10$ になるので
$$\frac{9+x}{2}=10\text{より}9+x=20,x=11$$
$x=11$ は $9\leqq x\leqq 12$ を満たします。

(iii) $x\geqq 12$ のとき
小さい順に並べると $4,7,9,12,\cdots$ となり、$3$ 番目は $9$、$4$ 番目は $12$ です。
中央値は $\frac{9+12}{2}=10.5$ となり、$10$ にはなりません。

手順 3：確かめる
$x=11$ のとき、データは $4,7,9,11,12,15$ となり、中央値は $\frac{9+11}{2}=10$ です。

よって $x=11$ です。

6 個のデータの中央値は、小さい方から 3 番目と 4 番目の値の平均である。

既知の 5 個は 4, 7, 9, 12, 15 で、これに $x$ を加える。

場合分け:
- $x\le 9$ のとき: 小さい方から 3 番目は 9、4 番目は 7 でなく…と整理する。$x\le 7$ なら順に $x,4,7,\dots$ などとなるが、いずれも 3 番目は 7 か $x$ 以下の値で、4 番目は 9 以下。中央値は 9 以下で 10 にならない。具体的に、$x\le 9$ なら 3 番目と 4 番目はともに 9 以下なので中央値は 9 以下。不適。
- $9\le x\le 12$ のとき: 並びは 4, 7, 9, $x$, 12, 15 となり、3 番目は 9、4 番目は $x$。中央値は $\frac{9+x}{2}=10$ より $x=11$。これは $9\le x\le 12$ を満たす。
- $x\ge 12$ のとき: 3 番目は 9、4 番目は 12 で、中央値は $\frac{21}{2}=10.5$。不適。

よって $x=11$。

検算: データ 4, 7, 9, 11, 12, 15 の 3 番目 9 と 4 番目 11 の平均は 10 で、条件に合う。