データの分析の問題

データの個数は $6$ 個（偶数）なので、中央値は小さい順に並べたときの $3$ 番目と $4$ 番目の値の平均値です。

$x$ 以外の値を小さい順に並べると $2,5,8,11,13$ です。$x$ がどこに入るかで、$3$ 番目と $4$ 番目の値が変わるので、$x$ の大きさで場合分けします。

(i) $x\leqq 8$ のとき

小さい順に並べると、$3$ 番目と $4$ 番目は「$x$ と $5$ のうち大きい方」と $8$ です。どちらも $8$ 以下なので、中央値は $8$ 以下となり、$9$ になりません。

(ii) $8<x<11$ のとき

小さい順に並べると $2,5,8,x,11,13$ となり、$3$ 番目は $8$、$4$ 番目は $x$ です。中央値は
$$\frac{8+x}{2}$$
なので、
$$\frac{8+x}{2}=9$$
$$8+x=18$$
$$x=10$$
これは $8<x<11$ を満たします。

(iii) $x\geqq 11$ のとき

小さい順に並べると、$3$ 番目は $8$、$4$ 番目は $11$ です。中央値は $\frac{8+11}{2}=9.5$ となり、$9$ になりません。

以上より、$x=10$ です。

（確認）データは $2,5,8,10,11,13$ となり、中央値は $\frac{8+10}{2}=9$ で条件を満たします。

6個のデータの中央値は、小さい順に並べた3番目と4番目の平均である。

$x$ が入る位置で場合分けする。
- $x\le 5$ のとき：3番目は5、4番目は8となり、中央値は $\frac{5+8}{2}=6.5$ で不適。
- $5\le x\le 8$ のとき：3番目は $x$、4番目は8なので、中央値は $\frac{x+8}{2}$。これが9なら $x=10$ となり、$5\le x\le 8$ に反して不適。
- $8\le x\le 11$ のとき：3番目は8、4番目は $x$ なので、中央値は $\frac{8+x}{2}=9$。よって $x=10$ で、$8\le x\le 11$ を満たす。
- $x\ge 11$ のとき：3番目は8、4番目は11で、中央値は9.5となり不適。

よって $x=10$。

検算：データを並べると $2,5,8,10,11,13$。3番目と4番目の平均は $\frac{8+10}{2}=9$ で条件を満たす。