共分散と相関係数

ある店で、4 日間の最高気温 $x$（℃）と冷たい飲み物の販売数 $y$（本）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で、4 日間の最高気温 $x$（℃）と、その日に売れたアイスクリームの個数 $y$（個）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で、5 日間の最高気温 $x$（℃）と、温かい飲み物の売上本数 $y$（本）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

4 組のデータ
$$(x_i,y_i)=(0,1),(1,3),(2,4),(3,8)(i=1,2,3,4)$$
がある。残差平方和
$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2$$
を最小にする実数 $a,b$ を用いた直線 $y=a+bx$ を、$y$ の $x$ への回帰直線とする。この回帰直線による決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2}{\sum _{i=1}^4(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_4$ の平均値である。

5 人の生徒 A, B, C, D, E に、数学と英語の小テスト（各 15 点満点）を行ったところ、得点は次のようになった。

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

5 人の生徒 A, B, C, D, E について、1 週間の自宅学習時間 $x$（時間）と小テストの得点 $y$（点）を調べたところ、次の表のようになった。

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次のことがわかっている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=64,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=232,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=584,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=288$$

このとき、$x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

ある植物を 5 鉢育て、与えた肥料の量 $x$（単位 g）と 1 か月後の草丈の伸び $y$（単位 cm）を測ったところ、次の 5 組のデータ $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,\dots ,5)$ が得られた。
$$(1,2),(2,3),(3,5),(4,4),(5,6)$$
このデータに単回帰モデル $y=a+bx$ を当てはめ、$a$, $b$ を最小二乗法で推定する。推定した回帰直線 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x$ について、決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^5(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum _{i=1}^5(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし ${\hat{y}}_i=\hat{a}+\hat{b}{x}_i$、$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_5$ の平均である。

13 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)(i=1,2,\dots ,13)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}=26,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}=39,\sum _{i=1}^{13}{y}_i=65,$$
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}^2=62,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}^2=137,\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}{x}_{2i}=88,$$
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}{y}_i=160,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}{y}_i=235,\sum _{i=1}^{13}{y}_i^2=475.$$
このデータに重回帰モデル
$$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1i}+{\beta }_2{x}_{2i}+{\epsilon }_i$$
をあてはめ、${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2$ を最小二乗法で推定する。最小二乗推定値を ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2$、残差を $e_i=y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{1i}-{\hat{\beta }}_2{x}_{2i}$、$\bar{y}=\frac{1}{13}{\sum }_{i=1}^{13}{y}_i$ とし、
$$S_e=\sum _{i=1}^{13}{e}_i^2,S_{yy}=\sum _{i=1}^{13}(y_i-\bar{y}{)}^2$$
とおく。決定係数 $R^2=1-\frac{S_e}{S_{yy}}$ と自由度調整済み決定係数 $R^{\ast 2}=1-\frac{S_e/(13-3)}{S_{yy}/(13-1)}$ を求め、$(R^2,R^{\ast 2})$ の組としてこの順に答えよ。

5 人の生徒に 2 種類の小テストを行い、それぞれの得点を変量 $x$, $y$ として次の表にまとめた。ただし、$a$, $b$ は $a<b$ を満たす実数である。

変量 $y$ の平均値は $6$、分散は $6$ である。このとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。ただし、分散と共分散は、偏差の 2 乗の和や偏差の積の和をデータの個数 $5$ で割ったものとする。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=56,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=240,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=330,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=460$$
このデータに単回帰モデル $y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i(i=1,2,\dots ,8)$ を当てはめ、${\beta }_0,{\beta }_1$ を最小二乗法で推定する。傾き ${\beta }_1$ の最小二乗推定値 ${\hat{\beta }}_1$ と、このあてはめの決定係数 $R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^8(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^8(y_i-\bar{y}{)}^2}$ を、この順に組 $({\hat{\beta }}_1,R^2)$ で求めよ。ただし ${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_i$ は予測値、$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_8$ の平均である。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、実数の組のデータ $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ が与えられている。$x_1,\dots ,x_n$ はすべてが等しいわけではなく、$y_1,\dots ,y_n$ もすべてが等しいわけではないとする。

$y$ を $x$ に回帰する直線 $y=a+bx$ の係数を最小二乗法で定める。すなわち $(\hat{a},\hat{b})$ を
$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i{)}^2$$
を最小にする実数の組とし、${\hat{y}}_i=\hat{a}+\hat{b}{x}_i$ とおく。この回帰の決定係数を
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}\left(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\right)$$
で定める。同様に、$x$ を $y$ に回帰する直線 $x=c+dy$ の係数 $(\hat{c},\hat{d})$ を、$\sum _{i=1}^n(x_i-c-d{y}_i{)}^2$ を最小にする実数の組とする。

このとき、$(\hat{a},\hat{b})$, $(\hat{c},\hat{d})$ はそれぞれただ 1 つに定まり、
$$\hat{b}\hat{d}=R^2$$
が成り立つことを証明せよ。

10 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)$ $(i=1,2,\dots ,10)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}=30,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}=20,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=50,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}^2=100,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}^2=45,\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{x}_{2i}=64,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{y}_i=166,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}{y}_i=103,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=290.$$
このデータに重回帰モデル $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ を最小二乗法で当てはめ、推定値 ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2$ を求める。${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_{1i}+{\hat{\beta }}_2{x}_{2i}$、$\bar{y}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{y}_i$ とおくとき、決定係数
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。

ある高校で、生徒 10 人に 2 種類のテストを行い、テスト 1 の得点を $x$、テスト 2 の得点を $y$ とした。10 人は、6 人のグループ A と 4 人のグループ B に分かれており、各グループの結果は次の通りであった。

• グループ A（6 人）: $x$ の平均値 $5$、$y$ の平均値 $6$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.5$
• グループ B（4 人）: $x$ の平均値 $10$、$y$ の平均値 $11$、$x$ の標準偏差 $2$、$y$ の標準偏差 $2$、$x$ と $y$ の相関係数 $-0.25$

ただし、分散・標準偏差・共分散は、いずれも偏差の積（または偏差の 2 乗）の総和をデータの個数で割ったものとする。

10 人全体のデータにおける $x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

$2$ つの変量 $x,y$ について、$10$ 個のデータの組 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_{10},y_{10})$ があり、
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_i=50,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=80,\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2=290,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=730,\sum _{i=1}^{10}{x}_i{y}_i=380$$
であった。

実数 $t$ に対し、新しい変量 $w$ を $w=x+ty$ で定める（すなわち $w_i=x_i+t{y}_i$）。$w$ の分散が最小となるように $t$ を定めたとき、変量 $x$ と変量 $w$ の相関係数を求めよ。

10 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)$ $(i=1,2,\dots ,10)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}=30,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}=20,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=50,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}^2=100,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}^2=45,\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{x}_{2i}=64,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{y}_i=168,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}{y}_i=114,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=300.$$
このデータに重回帰モデル $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ を最小二乗法であてはめる。残差平方和を $S_e$、$y$ の偏差平方和を $S_{yy}=\sum _{i=1}^{10}(y_i-\bar{y}{)}^2$（$\bar{y}$ は $y_i$ の平均）とするとき、自由度調整済み決定係数
$$R^{\ast 2}=1-\frac{S_e/(10-3)}{S_{yy}/(10-1)}$$
の値を既約分数で求めよ。

$1$ から $9$ までの整数を $1$ 回ずつ並べた列 $a_1,a_2,\dots ,a_9$ が、すべての $i=1,2,\dots ,9$ について $a_i\ne i$ を満たしている。$2$ つの変量 $x,y$ の $9$ 個のデータの組を
$$(x_i,y_i)=(i,a_i)(i=1,2,\dots ,9)$$
とするとき、$x$ と $y$ の相関係数として考えられる値の最大値を求めよ。