データの分析の問題

相関係数は
$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$$
で求められる。ここで $s_{xy}$ は共分散（偏差の積の平均）、$s_x$, $s_y$ はそれぞれ $x$, $y$ の標準偏差である。

手順 1：平均値を求める。
$$\bar{x}=\frac{22+24+26+28}{4}=\frac{100}{4}=25,\bar{y}=\frac{30+50+90+70}{4}=\frac{240}{4}=60$$

手順 2：偏差を求める。
$x-\bar{x}$ は $-3,-1,1,3$、$y-\bar{y}$ は $-30,-10,30,10$ である。

手順 3：分散と標準偏差を求める。
$$s_x^2=\frac{(-3{)}^2+(-1{)}^2+1^2+3^2}{4}=\frac{20}{4}=5$$
$$s_y^2=\frac{(-30{)}^2+(-10{)}^2+30^2+10^2}{4}=\frac{2000}{4}=500$$
よって $s_x=\sqrt{5}$, $s_y=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$。

手順 4：共分散を求める。 偏差の積を日ごとに計算すると
$$(-3)(-30)=90,(-1)(-10)=10,1\cdot 30=30,3\cdot 10=30$$
なので
$$s_{xy}=\frac{90+10+30+30}{4}=\frac{160}{4}=40$$

手順 5：相関係数を求める。
$$r=\frac{40}{\sqrt{5}\times 10\sqrt{5}}=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}$$

$r=0.8$ は $1$ に近い正の値なので、散布図では点が右上がりに並び、強い正の相関があるといえる（気温が高い日ほど販売数が多い傾向がある）。

答え：$\frac{4}{5}$

x の平均は (22+24+26+28)/4 = 25、y の平均は (30+50+90+70)/4 = 60。
偏差は x: -3, -1, 1, 3、y: -30, -10, 30, 10。
x の偏差の2乗和 = 9+1+1+9 = 20。
y の偏差の2乗和 = 900+100+900+100 = 2000。
偏差の積の和 = 90+10+30+30 = 160。
したがって r = 160/√(20·2000) = 160/√40000 = 160/200 = 4/5。
検算: 分散 Vx = 5、Vy = 500、共分散 = 40 より r = 40/√(5·500) = 40/50 = 0.8。