データの分析の問題

相関係数は、共分散 $s_{xy}$ と、$x$, $y$ の標準偏差 $s_x$, $s_y$ を使って
$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$$
で求める。

手順 1：平均値を求める。
$$\bar{x}=\frac{22+24+26+28}{4}=\frac{100}{4}=25,\bar{y}=\frac{9+7+13+11}{4}=\frac{40}{4}=10$$

手順 2：偏差を求める。
$x$ の偏差 $x-\bar{x}$ は $-3,-1,1,3$

$y$ の偏差 $y-\bar{y}$ は $-1,-3,3,1$

手順 3：分散と標準偏差を求める。
$$s_x^2=\frac{(-3{)}^2+(-1{)}^2+1^2+3^2}{4}=\frac{20}{4}=5$$
$$s_y^2=\frac{(-1{)}^2+(-3{)}^2+3^2+1^2}{4}=\frac{20}{4}=5$$
よって $s_x=\sqrt{5}$, $s_y=\sqrt{5}$。

手順 4：共分散を求める。 共分散は偏差の積の平均である。
$$s_{xy}=\frac{(-3)(-1)+(-1)(-3)+1\cdot 3+3\cdot 1}{4}=\frac{3+3+3+3}{4}=\frac{12}{4}=3$$

手順 5：相関係数を求める。
$$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{3}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{3}{5}$$

$r=\frac{3}{5}=0.6$ は正の値なので、散布図では点が右上がりに分布する傾向があり、$x$ と $y$ には正の相関がある（最高気温が高い日ほど、アイスクリームが多く売れる傾向がある）。

答え：$r=\frac{3}{5}$

$x$ の平均は $\frac{22+24+26+28}{4}=25$、$y$ の平均は $\frac{9+7+13+11}{4}=10$ である。

偏差は次のとおり。
- $x-25$: $-3,-1,1,3$
- $y-10$: $-1,-3,3,1$

偏差の2乗の和は、$x$ について $9+1+1+9=20$、$y$ について $1+9+9+1=20$ である。

偏差の積の和は $3+3+3+3=12$ である。

分散は $s_x^2=s_y^2=\frac{20}{4}=5$、共分散は $s_{xy}=\frac{12}{4}=3$ である。

よって $r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{3}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{3}{5}=0.6$。

検算として、偏差の積の和と偏差の2乗の和から $r=\frac{12}{\sqrt{20\cdot 20}}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ となり、一致する。