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データの分析の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学I データの分析

5 人の生徒 A, B, C, D, E について、1 週間の自宅学習時間 $x$ （時間）と小テストの得点 $y$ （点）を調べたところ、次の表のようになった。

生徒	A	B	C	D	E
$x$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$y$	$3$	$1$	$5$	$7$	$9$

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

この問題で使うもの

代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）
分散と標準偏差（説明と入口の問題）
共分散と相関係数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $x$ , $y$ それぞれの平均値を求め、各データの偏差を計算しましょう。

ヒント 2

相関係数は $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ です。共分散 $s_{x y}$ は偏差の積の平均、分散は偏差の 2 乗の平均です。

ヒント 3

$x = 6$ , $y = 5$ です。 $x$ の偏差は $- 4, - 2, 0, 2, 4$ 、 $y$ の偏差は $- 2, - 4, 0, 2, 4$ なので、偏差の 2 乗の和はどちらも $40$ 、偏差の積の和は $36$ になります。

答えと解説

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\frac{9}{10}

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平均値

$x = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6, y = \frac{3 + 1 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5$

偏差

各生徒の偏差 $x - x$ , $y - y$ とその積・平方を表にまとめる。

生徒	A	B	C	D	E	合計
$x - x$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$0$
$y - y$	$- 2$	$- 4$	$0$	$2$	$4$	$0$
$(x - x)^{2}$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$
$(y - y)^{2}$	$4$	$16$	$0$	$4$	$16$	$40$
$(x - x) (y - y)$	$8$	$8$	$0$	$4$	$16$	$36$

分散・標準偏差・共分散

$s_{x}^{2} = \frac{40}{5} = 8, s_{y}^{2} = \frac{40}{5} = 8$

より $s_{x} = s_{y} = 8 = 22$ である。共分散は

$s_{x y} = \frac{36}{5}$

相関係数

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{\frac{36}{5}}{2 2 \cdot 2 2} = \frac{\frac{36}{5}}{8} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}$

よって $r = \frac{9}{10}$ であり、 $x$ と $y$ には強い正の相関がある。

別解

$x$ の平均は $x ˉ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) /5 = 6$ 、 $y$ の平均は $y ˉ = (3 + 1 + 5 + 7 + 9) /5 = 25/5 = 5$ 。

偏差は $x - x ˉ$ : $- 4, - 2, 0, 2, 4$ 、 $y - y ˉ$ : $- 2, - 4, 0, 2, 4$ 。

$x$ の偏差平方和 $= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ 。
$y$ の偏差平方和 $= 4 + 16 + 0 + 4 + 16 = 40$ 。
偏差の積の和 $= 8 + 8 + 0 + 4 + 16 = 36$ 。

よって $r = \frac{36}{40 40} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}$ 。

検算: 共分散 $= 36/5$ 、分散はともに $8$ 。 $r = (36/5) /8 = 36/40 = 9/10$ 。一致する。

日	1 日目	2 日目	3 日目	4 日目
$x$ （℃）	$22$	$24$	$26$	$28$
$y$ （個）	$9$	$7$	$13$	$11$

日	1	2	3	4
$x$	22	24	26	28
$y$	30	50	90	70

日	1	2	3	4	5
$x$ （℃）	20	21	22	23	24
$y$ （本）	32	31	30	28	29

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生徒	A	B	C	D	E
数学の得点 $x$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
英語の得点 $y$	$6$	$8$	$12$	$10$	$14$