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データの分析の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学I データの分析

5 人の生徒 A, B, C, D, E に、数学と英語の小テスト（各 15 点満点）を行ったところ、得点は次のようになった。

生徒	A	B	C	D	E
数学の得点 $x$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
英語の得点 $y$	$6$	$8$	$12$	$10$	$14$

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

この問題で使うもの

代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）
分散と標準偏差（説明と入口の問題）
共分散と相関係数（説明と入口の問題）
根号を含む式の計算と分母の有理化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

相関係数は $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ で求められます。まず $x$ , $y$ それぞれの平均値を計算し、各データの偏差を表にまとめましょう。

ヒント 2

共分散は $s_{x y} = \frac{1}{5} \sum (x - x ˉ) (y - y ˉ)$ 、分散は $s_{x}^{2} = \frac{1}{5} \sum (x - x ˉ)^{2}$ です。 $y$ についても同じように計算します。

ヒント 3

$x ˉ = 8$ , $y ˉ = 10$ です。 $x$ の偏差は $- 2, - 1, 0, 1, 2$ 、 $y$ の偏差は $- 4, - 2, 2, 0, 4$ となり、 $s_{x}^{2} = 2$ , $s_{y}^{2} = 8$ です。あとは偏差の積の和から共分散を求めましょう。

答えと解説

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\frac{9}{10}

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平均値

$x ˉ = \frac{6 + 7 + 8 + 9 + 10}{5} = \frac{40}{5} = 8, y ˉ = \frac{6 + 8 + 12 + 10 + 14}{5} = \frac{50}{5} = 10$

偏差

各生徒の偏差 $x - x ˉ$ , $y - y ˉ$ と、その積は次のようになる。

生徒	A	B	C	D	E
$x - x ˉ$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y - y ˉ$	$- 4$	$- 2$	$2$	$0$	$4$
$(x - x ˉ) (y - y ˉ)$	$8$	$2$	$0$	$0$	$8$

分散

$s_{x}^{2} = \frac{( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2}}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$s_{y}^{2} = \frac{( - 4 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + 2 ^{2} + 0 ^{2} + 4 ^{2}}{5} = \frac{40}{5} = 8$

よって、標準偏差は $s_{x} = 2$ , $s_{y} = 8 = 22$ である。

共分散

$s_{x y} = \frac{8 + 2 + 0 + 0 + 8}{5} = \frac{18}{5}$

相関係数

$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{\frac{18}{5}}{2 \cdot 2 2} = \frac{\frac{18}{5}}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$

したがって $r = \frac{9}{10}$ である。 $x$ と $y$ には強い正の相関がある。

別解

$x$ の平均は $(6 + 7 + 8 + 9 + 10) /5 = 8$ 、 $y$ の平均は $(6 + 8 + 12 + 10 + 14) /5 = 50/5 = 10$ 。

偏差は $x - 8$ : $- 2, - 1, 0, 1, 2$ 、 $y - 10$ : $- 4, - 2, 2, 0, 4$ 。

$x$ の偏差の2乗和: $4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ 。
$y$ の偏差の2乗和: $16 + 4 + 4 + 0 + 16 = 40$ 。
偏差の積の和: $(- 2) (- 4) + (- 1) (- 2) + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8 + 2 + 0 + 0 + 8 = 18$ 。

よって $r = \frac{18}{10 40} = \frac{18}{400} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ 。

検算: 分散 $s_{x}^{2} = 2$ 、 $s_{y}^{2} = 8$ 、共分散 $18/5$ 。 $r = (18/5) / (2 \cdot 8) = (18/5) /4 = 9/10$ 。一致。

日	1 日目	2 日目	3 日目	4 日目
$x$ （℃）	$22$	$24$	$26$	$28$
$y$ （個）	$9$	$7$	$13$	$11$

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