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データの分析の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I データの分析

ある店で、5 日間の最高気温 $x$ （℃）と、温かい飲み物の売上本数 $y$ （本）を調べたところ、次の表のようになった。

日	1	2	3	4	5
$x$ （℃）	20	21	22	23	24
$y$ （本）	32	31	30	28	29

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

この問題で使うもの

共分散と相関係数（説明と入口の問題）
分散と標準偏差（説明と入口の問題）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「共分散と相関係数」の技能を使います。相関係数は $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ （共分散 ÷ 標準偏差の積）で求めます。

ヒント 2

まず $x ˉ, y ˉ$ を求め、各日の偏差 $x - x ˉ, y - y ˉ$ を計算します。共分散 $s_{x y}$ は偏差の積 $(x - x ˉ) (y - y ˉ)$ の平均、分散は偏差の 2 乗の平均です。

ヒント 3

$x ˉ = 22, y ˉ = 30$ で、偏差は $x$ が $- 2, - 1, 0, 1, 2$ 、 $y$ が $2, 1, 0, - 2, - 1$ です。偏差の積の合計は $- 9$ 、偏差の 2 乗の合計は $x, y$ ともに $10$ になります。

答えと解説

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- \frac{9}{10}

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解説を読む

相関係数は
$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$
で求める。ここで $s_{x y}$ は $x$ と $y$ の共分散、 $s_{x}, s_{y}$ はそれぞれ $x, y$ の標準偏差である。

手順 1：平均値を求める。
$x ˉ = \frac{20 + 21 + 22 + 23 + 24}{5} = \frac{110}{5} = 22, y ˉ = \frac{32 + 31 + 30 + 28 + 29}{5} = \frac{150}{5} = 30$

手順 2：偏差と、その積・2 乗を表にする。

日	1	2	3	4	5	合計
$x - x ˉ$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y - y ˉ$	$2$	$1$	$0$	$- 2$	$- 1$
$(x - x ˉ)^{2}$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$10$
$(y - y ˉ)^{2}$	$4$	$1$	$0$	$4$	$1$	$10$
$(x - x ˉ) (y - y ˉ)$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 2$	$- 2$	$- 9$

手順 3：分散・標準偏差・共分散を求める。
$s_{x}^{2} = \frac{10}{5} = 2, s_{y}^{2} = \frac{10}{5} = 2$
より $s_{x} = 2, s_{y} = 2$ 。
共分散は偏差の積の平均なので
$s_{x y} = \frac{- 9}{5} = - \frac{9}{5}$

手順 4：相関係数を求める。
$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{- \frac{9}{5}}{2 \times 2} = \frac{- \frac{9}{5}}{2} = - \frac{9}{10}$

$r = - 0.9$ は $- 1$ に近いので、 $x$ と $y$ には強い負の相関がある。散布図では、点が右下がりの直線の近くに集まる（気温が高い日ほど温かい飲み物の売上が少ない傾向がある）。

答え： $r = - \frac{9}{10}$

別解

$x$ の平均は $x ˉ = \frac{20 + 21 + 22 + 23 + 24}{5} = 22$ 、 $y$ の平均は $y ˉ = \frac{32 + 31 + 30 + 28 + 29}{5} = \frac{150}{5} = 30$ である。

偏差は次のとおり。
- $x - x ˉ$ : $- 2, - 1, 0, 1, 2$
- $y - y ˉ$ : $2, 1, 0, - 2, - 1$

偏差の2乗和は次のとおり。
- $x$ : $4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$
- $y$ : $4 + 1 + 0 + 4 + 1 = 10$

偏差の積の和は $(- 2) (2) + (- 1) (1) + 0 \cdot 0 + (1) (- 2) + (2) (- 1) = - 4 - 1 + 0 - 2 - 2 = - 9$ である。

よって $r = \frac{- 9}{10 10} = - \frac{9}{10} = - 0.9$ となる。

検算として、分散 $10/5 = 2$ 、共分散 $- 9/5$ から $r = \frac{- 9/5}{2 2} = - \frac{9}{10}$ となり、一致する。

日	1 日目	2 日目	3 日目	4 日目
$x$ （℃）	$22$	$24$	$26$	$28$
$y$ （個）	$9$	$7$	$13$	$11$

生徒	A	B	C	D	E
$x$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$
$y$	$3$	$1$	$5$	$7$	$9$

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