数理統計の問題

10 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)$ $(i=1,2,\dots ,10)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}=30,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}=20,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=50,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}^2=100,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}^2=45,\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{x}_{2i}=64,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{y}_i=168,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}{y}_i=114,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=300.$$
このデータに重回帰モデル $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ を最小二乗法であてはめる。残差平方和を $S_e$、$y$ の偏差平方和を $S_{yy}=\sum _{i=1}^{10}(y_i-\bar{y}{)}^2$（$\bar{y}$ は $y_i$ の平均）とするとき、自由度調整済み決定係数
$$R^{\ast 2}=1-\frac{S_e/(10-3)}{S_{yy}/(10-1)}$$
の値を既約分数で求めよ。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=56,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=240,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=330,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=460$$
このデータに単回帰モデル $y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i(i=1,2,\dots ,8)$ を当てはめ、${\beta }_0,{\beta }_1$ を最小二乗法で推定する。傾き ${\beta }_1$ の最小二乗推定値 ${\hat{\beta }}_1$ と、このあてはめの決定係数 $R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^8(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^8(y_i-\bar{y}{)}^2}$ を、この順に組 $({\hat{\beta }}_1,R^2)$ で求めよ。ただし ${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_i$ は予測値、$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_8$ の平均である。

13 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)(i=1,2,\dots ,13)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}=26,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}=39,\sum _{i=1}^{13}{y}_i=65,$$
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}^2=62,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}^2=137,\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}{x}_{2i}=88,$$
$$\sum _{i=1}^{13}{x}_{1i}{y}_i=160,\sum _{i=1}^{13}{x}_{2i}{y}_i=235,\sum _{i=1}^{13}{y}_i^2=475.$$
このデータに重回帰モデル
$$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1i}+{\beta }_2{x}_{2i}+{\epsilon }_i$$
をあてはめ、${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2$ を最小二乗法で推定する。最小二乗推定値を ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2$、残差を $e_i=y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{1i}-{\hat{\beta }}_2{x}_{2i}$、$\bar{y}=\frac{1}{13}{\sum }_{i=1}^{13}{y}_i$ とし、
$$S_e=\sum _{i=1}^{13}{e}_i^2,S_{yy}=\sum _{i=1}^{13}(y_i-\bar{y}{)}^2$$
とおく。決定係数 $R^2=1-\frac{S_e}{S_{yy}}$ と自由度調整済み決定係数 $R^{\ast 2}=1-\frac{S_e/(13-3)}{S_{yy}/(13-1)}$ を求め、$(R^2,R^{\ast 2})$ の組としてこの順に答えよ。

ある植物を 5 鉢育て、与えた肥料の量 $x$（単位 g）と 1 か月後の草丈の伸び $y$（単位 cm）を測ったところ、次の 5 組のデータ $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,\dots ,5)$ が得られた。
$$(1,2),(2,3),(3,5),(4,4),(5,6)$$
このデータに単回帰モデル $y=a+bx$ を当てはめ、$a$, $b$ を最小二乗法で推定する。推定した回帰直線 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x$ について、決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^5(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum _{i=1}^5(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし ${\hat{y}}_i=\hat{a}+\hat{b}{x}_i$、$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_5$ の平均である。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、実数の組のデータ $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ が与えられている。$x_1,\dots ,x_n$ はすべてが等しいわけではなく、$y_1,\dots ,y_n$ もすべてが等しいわけではないとする。

$y$ を $x$ に回帰する直線 $y=a+bx$ の係数を最小二乗法で定める。すなわち $(\hat{a},\hat{b})$ を
$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i{)}^2$$
を最小にする実数の組とし、${\hat{y}}_i=\hat{a}+\hat{b}{x}_i$ とおく。この回帰の決定係数を
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}\left(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\right)$$
で定める。同様に、$x$ を $y$ に回帰する直線 $x=c+dy$ の係数 $(\hat{c},\hat{d})$ を、$\sum _{i=1}^n(x_i-c-d{y}_i{)}^2$ を最小にする実数の組とする。

このとき、$(\hat{a},\hat{b})$, $(\hat{c},\hat{d})$ はそれぞれただ 1 つに定まり、
$$\hat{b}\hat{d}=R^2$$
が成り立つことを証明せよ。