数理統計の問題

$n$ を 3 以上の整数とし、$n$ 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$ が与えられている。$x_1,\dots ,x_n$ はすべてが等しくはなく、$y_1,\dots ,y_n$ もすべてが等しくはないとする。

このデータに対して、最小二乗法で次の 2 つの回帰直線を求めた。
- $y$ を $x$ に回帰した直線 $y=a+bx$（$\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i{)}^2$ を最小にする $a,b$）の傾きは $\hat{b}=\frac{6}{5}$ であった。
- $x$ を $y$ に回帰した直線 $x=c+dy$（$\sum _{i=1}^n(x_i-c-d{y}_i{)}^2$ を最小にする $c,d$）の傾きは $\hat{d}=\frac{1}{2}$ であった。

$y$ を $x$ に回帰した直線 $y=\hat{a}+\hat{b}x$ の決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^n{\left(y_i-\hat{a}-\hat{b}{x}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
を求めよ。ただし $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i$ である。

10 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)$ $(i=1,2,\dots ,10)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}=30,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}=20,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=50,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}^2=100,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}^2=45,\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{x}_{2i}=64,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{y}_i=166,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}{y}_i=103,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=290.$$
このデータに重回帰モデル $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ を最小二乗法で当てはめ、推定値 ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2$ を求める。${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_{1i}+{\hat{\beta }}_2{x}_{2i}$、$\bar{y}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{y}_i$ とおくとき、決定係数
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$0<\alpha <1$ を定数とし、帰無仮説 $H_0:\theta \le 1$、対立仮説 $H_1:\theta >1$ の検定として、
$$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\},c=(1-\alpha {)}^{1/n}$$
とおき「$M>c$ のとき $H_0$ を棄却する」検定を考える。この検定の検出力関数を $\beta (\theta )=P_{\theta }(M>c)(\theta >0)$ と定める。

このとき
$$\underset{0<\theta \le 1}{\sup }\beta (\theta )=\alpha$$
（すなわちこの検定のサイズは $\alpha$）であり、さらにすべての $\theta >1$ に対して
$$\beta (\theta )=1-\frac{1-\alpha }{{\theta }^n}>\alpha$$
が成り立つ（対立仮説のもとでの検出力は常に $\alpha$ を超える）ことを証明せよ。

4 組のデータ
$$(x_i,y_i)=(1,3),(2,4),(3,8),(4,9)(i=1,2,3,4)$$
がある。$y$ の $x$ への回帰直線を $y=a+bx$ とする。ここで $a,b$ は、残差平方和
$$S(a,b)=\sum _{i=1}^4(y_i-a-b{x}_i{)}^2$$
を最小にする実数である。また、決定係数 $R^2$ を
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^4(y_i-a-b{x}_i{)}^2}{\sum _{i=1}^4(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
で定める（$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_4$ の平均値）。$a,b,R^2$ をこの順に組 $(a,b,R^2)$ で求めよ。

8 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_8,y_8)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^8{x}_i=40,\sum _{i=1}^8{y}_i=56,\sum _{i=1}^8{x}_i^2=240,\sum _{i=1}^8{x}_i{y}_i=330,\sum _{i=1}^8{y}_i^2=460$$
このデータに単回帰モデル $y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i(i=1,2,\dots ,8)$ を当てはめ、${\beta }_0,{\beta }_1$ を最小二乗法で推定する。傾き ${\beta }_1$ の最小二乗推定値 ${\hat{\beta }}_1$ と、このあてはめの決定係数 $R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^8(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^8(y_i-\bar{y}{)}^2}$ を、この順に組 $({\hat{\beta }}_1,R^2)$ で求めよ。ただし ${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_i$ は予測値、$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_8$ の平均である。