数理統計の問題

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従うとする。$\theta$ の 2 つの推定量
$${\hat{\theta }}_1=\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,{\hat{\theta }}_2=M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$$
を考える。推定量 $\hat{\theta }$ の平均二乗誤差を ${\mathrm{MSE}}_{\theta }(\hat{\theta })=E_{\theta }\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]$ と定める。

${\hat{\theta }}_1$ は $\theta$ の不偏推定量で、${\hat{\theta }}_2$ は不偏推定量でない（バイアスが $0$ でない）にもかかわらず、すべての $\theta >0$ に対して
$${\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_2)<{\mathrm{MSE}}_{\theta }({\hat{\theta }}_1)$$
が成り立つことを証明せよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は $3$ 以上の整数）は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$S=-\sum _{i=1}^n\log X_i$ とおき、
$$T=\frac{n-1}{S}$$
と定める。1 標本あたりのフィッシャー情報量を $I(\theta )=E_{\theta }\left[{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\log f(X_1;\theta )\right)}^2\right]$ とし、$\theta$ の不偏推定量に対するクラメール・ラオの下限を $\frac{1}{nI(\theta )}$ とする。

このとき、$T$ は $\theta$ の不偏推定量であり、すべての $\theta >0$ に対して $V_{\theta }(T)>\frac{1}{nI(\theta )}$ が成り立つ（すなわち $T$ の分散はクラメール・ラオの下限に達しない）ことを証明せよ。

ただし、互いに独立で、いずれも確率密度関数 $\theta e^{-\theta y}(y>0)$ をもつ $n$ 個の確率変数の和は、確率密度関数 $\frac{{\theta }^n{s}^{n-1}{e}^{-\theta s}}{(n-1)!}(s>0)$ をもつこと（ガンマ分布の再生性）と、正の整数 $k$ に対して ${\int }_0^{\infty }{s}^{k-1}{e}^{-\theta s}ds=\frac{(k-1)!}{{\theta }^k}$ であることは用いてよい。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従う確率変数とする（$\theta >0$ は未知の母数）。帰無仮説 $H_0:\theta =1$ を対立仮説 $H_1:\theta =2$ に対して検定するために、$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ を検定統計量とし、定数 $c(0<c<1)$ を用いて
$$M>c\text{ のとき }{H}_0\text{ を棄却する}$$
という検定を考える。ここで $c$ は、この検定の有意水準（$H_0$ のもとで棄却する確率）がちょうど $0.1$ になるように定める。

$\theta =2$ のときの検出力（$H_0$ を棄却する確率）が $0.95$ 以上となるような最小の $n$ を求めよ。

$\alpha >0$, $\beta >0$ を定数とする。母数 $\lambda >0$ の事前分布を、確率密度関数
$$\pi (\lambda )=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }(\lambda >0)$$
をもつガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha ,\beta )$ とする。$\lambda$ が与えられたとき、$X_1,\dots ,X_n$（$n$ は正の整数）は互いに独立に平均 $\lambda$ のポアソン分布に従い、その実現値 $x_1,\dots ,x_n$（いずれも $0$ 以上の整数）が得られたとする。$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$ とおく。

このとき、$\lambda$ の事後分布はガンマ分布 $\mathrm{Ga}\left(\alpha +{\sum }_{i=1}^n{x}_i,\beta +n\right)$ であり、事後分布の平均は
$$E[\lambda \mid x_1,\dots ,x_n]=w\cdot \frac{\alpha }{\beta }+(1-w)\bar{x},w=\frac{\beta }{\beta +n}$$
と、事前分布の平均 $\frac{\alpha }{\beta }$ と標本平均 $\bar{x}$ の重み付き平均で表されることを証明せよ。

ただし、$a>0$, $b>0$ に対して ${\int }_0^{\infty }{\lambda }^{a-1}{e}^{-b\lambda }d\lambda =\frac{\Gamma (a)}{b^a}$ であること、および $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$ は用いてよい。

あるバス停でバスを待つ時間（単位: 分）は、$\theta$ が与えられたとき区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従うとする（$\theta >0$ は未知の母数）。$\theta$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\theta )=\frac{3\cdot 2^3}{{\theta }^4}(\theta >2)$$
（$\theta \le 2$ では $\pi (\theta )=0$）のパレート分布を用いる。

$\theta$ が与えられたとき互いに独立な 5 回の待ち時間を観測したところ、
$$1.2,3.1,0.7,2.6,1.9$$
であった。このデータのもとでの $\theta$ の事後分布の平均（事後平均）を求めよ。