二項分布

二項分布 $B (n, p)$ の確率を求め、期待値 $n p$ と分散 $n p (1 - p)$ を使える

前提

確率変数の和と積（独立な場合）（数学B 統計的な推測）
独立な試行と反復試行（数学A 場合の数と確率）

この技能までの道筋（16 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
期待値（数学A 場合の数と確率）
確率変数と確率分布（数学B 統計的な推測）
平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
変量の変換と平均・分散（数学I データの分析）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
確率変数の和と積（独立な場合）（数学B 統計的な推測）
独立な試行と反復試行（数学A 場合の数と確率）

説明

同じ試行を独立に $n$ 回くり返し、ある事象 $A$ が起こる回数を $X$ とします。このときの $X$ の確率分布を二項分布といいます。二項分布を使うと、 $X = r$ となる確率をすぐに式で書けます。期待値と分散も、確率分布の表を作らずに $n p$ 、 $n p (1 - p)$ で求められます。さいころやコインを何回も投げる場面や、くじを引いては元に戻す場面などで使います。

なぜそうしてよいのか

1 回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$ とし、この試行を独立に $n$ 回くり返します。反復試行の確率の式から、 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は $P (X = r) =_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ （ $r = 0, 1, \dots, n$ ）です。この確率分布を二項分布といい、 $B (n, p)$ と書きます。このとき「 $X$ は二項分布 $B (n, p)$ に従う」と言います。

期待値と分散を $P (X = r)$ から直接計算するのは大変です。そこで $X$ を分解して考えます。 $k$ 回目の試行で $A$ が起これば $1$ 、起こらなければ $0$ をとる確率変数を $X_{k}$ とします（ $k = 1, 2, \dots, n$ ）。 $X_{k}$ を全部足すと $A$ の起こった回数になるので、 $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ です。各 $X_{k}$ の期待値は $E (X_{k}) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p$ です。また $E (X_{k}^{2}) = 1^{2} \cdot p + 0^{2} \cdot (1 - p) = p$ です。よって分散は $V (X_{k}) = E (X_{k}^{2}) - {E (X_{k})}^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)$ となります。

期待値はいつでも和に分けられるので、 $E (X) = E (X_{1}) + \dots + E (X_{n}) = n p$ です。さらに、各回の試行は独立なので、 $X_{1}, \dots, X_{n}$ も互いに独立です。独立なら分散も和に分けられるので、 $V (X) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{n}) = n p (1 - p)$ となります。「1 回あたり平均 $p$ 回起こることを $n$ 回くり返すから、平均 $n p$ 回」という直観とも合っています。

手順

二項分布が使えるか確かめる。(1) 各回の試行が独立であること、(2) どの回でも事象 $A$ の起こる確率が同じ $p$ であること、の両方を確認する。 $A$ の起こる回数を $X$ とすれば、 $X$ は $B (n, p)$ に従う。
$n$ と $p$ の値を読み取り、 $1 - p$ も計算しておく。
確率が必要なら $P (X = r) =_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ （ $r = 0, 1, \dots, n$ ）に代入する。
期待値・分散が必要なら $E (X) = n p$ 、 $V (X) = n p (1 - p)$ を使う。標準偏差は $σ (X) = n p (1 - p)$ である。
$Y = a X + b$ の形の量を聞かれたら、 $E (Y) = a E (X) + b$ 、 $V (Y) = a^{2} V (X)$ で変換する。

例題

1 個のさいころを 72 回投げるとき、1 の目が出る回数を $X$ とする。 $X$ の期待値 $E (X)$ と分散 $V (X)$ を、この順に求めよ。

例題の解答

手順 1：さいころを投げる試行は毎回独立です。また、1 の目が出る確率はどの回も $\frac{1}{6}$ で同じです。よって $X$ は二項分布に従います。

手順 2： $n = 72$ 、 $p = \frac{1}{6}$ 、 $1 - p = \frac{5}{6}$ です。したがって $X$ は $B (72, \frac{1}{6})$ に従います。

手順 4：期待値は $E (X) = n p = 72 \times \frac{1}{6} = 12$ です。分散は $V (X) = n p (1 - p) = 72 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 10$ です。

よって $E (X) = 12$ 、 $V (X) = 10$ です。

答え: $(12, 10)$

よくある誤り

分散を期待値と同じ $n p$ としてしまう誤り。正しくは $V (X) = n p (1 - p)$ である。例えば $B (72, \frac{1}{6})$ の分散は $12$ ではなく $72 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 10$ 。
確率の式で $_{n} C_{r}$ を落とし、 $P (X = r) = p^{r} (1 - p)^{n - r}$ としてしまう誤り。これは「どの回に起こるか」を 1 通りに決めたときの確率にすぎない。正しくは、起こる回の選び方の数を掛けて $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ とする。例えばコインを 3 回投げて表がちょうど 2 回出る確率は、 $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ ではなく $_{3} C_{2} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{3}{8}$ 。
標準偏差を求めるのに $n p (1 - p)$ のままにしてしまう誤り。正しくは $σ (X) = n p (1 - p)$ である。例えば $B (72, \frac{1}{6})$ の標準偏差は $10$ ではなく $10$ 。
元に戻さない抽出にも二項分布を使ってしまう誤り。例えば赤玉 3 個・白玉 7 個の袋から 1 個ずつ戻さずに取り出す場合を考える。1 回目の結果がわからない状態で見れば、2 回目に赤が出る確率は $\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{3}{10}$ で、1 回目と同じである。しかし、1 回目が赤なら 2 回目に赤が出る確率は $\frac{2}{9}$ 、1 回目が白なら $\frac{3}{9}$ と、1 回目の結果によって変わる。つまり各回の試行は独立でない。そのため反復試行の式は使えず、赤の出る回数は $B (n, p)$ に従わない。二項分布を使うには、取り出すたびに元に戻す場合のように、各回の確率が同じであることに加えて、試行が独立であることが必要である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

二項分布の正規近似（数学B 統計的な推測）
幾何分布・ポアソン分布（大学数学確率・統計）
多期間二項モデルのヨーロピアン・オプション（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
質量分析の同位体ピークの強度比（大学化学分光学と構造解析）