幾何分布・ポアソン分布

幾何分布・ポアソン分布の確率・期待値・分散を、級数の和を使って求められる

前提

二項分布（数学B 統計的な推測）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）

説明

成功確率 $p$ の独立な試行を「初めて成功するまで」繰り返したときの回数を表すのが幾何分布です。一定の時間や範囲の中でまれに起こる出来事の回数を表すのがポアソン分布です。どちらも確率変数のとる値が $1, 2, 3, \dots$ や $0, 1, 2, \dots$ と限りなく続くので、確率・期待値・分散を無限級数の和として計算します。べき級数の項別微分や $e^{x}$ のテイラー展開を使ってこれらの値を自分で導けるようになり、待ち回数・窓口に来る客の数・不良品の個数などの計算に使えます。

なぜそうしてよいのか

【幾何分布】成功確率 $p$ （ $0 < p < 1$ ）の独立な試行を、初めて成功するまで続けます。その回数を $X$ とすると、 $X = k$ となるのは「 $k - 1$ 回続けて失敗し、 $k$ 回目に成功する」ときです。よって $q = 1 - p$ とおくと $P (X = k) = q^{k - 1} p (k = 1, 2, 3, \dots)$ です。全確率は無限等比級数 $\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k - 1} p = \frac{p}{1 - q} = 1$ です。期待値を求めるには、 $∣ x ∣ < 1$ で成り立つ $\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}$ を項別微分します。このべき級数の収束半径は $1$ で、べき級数は収束半径の内側で項別微分してよいからです。1 回微分すると $\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ 、2 回微分すると $\sum_{k = 2}^{\infty} k (k - 1) x^{k - 2} = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}}$ が得られます。 $0 < q < 1$ なので $x = q$ を代入できます。すると $E [X] = \sum_{k = 1}^{\infty} k q^{k - 1} p = p \cdot \frac{1}{p ^{2}} = \frac{1}{p}$ です。また $E [X (X - 1)] = \sum_{k = 2}^{\infty} k (k - 1) q^{k - 1} p = pq \cdot \frac{2}{p ^{3}} = \frac{2 q}{p ^{2}}$ です。したがって $V [X] = E [X (X - 1)] + E [X] - E [X]^{2} = \frac{2 q}{p ^{2}} + \frac{1}{p} - \frac{1}{p ^{2}} = \frac{1 - p}{p ^{2}}$ となります。

【ポアソン分布】 $λ > 0$ を定数とし、 $n > λ$ に対して二項分布 $B (n, \frac{λ}{n})$ を考えます。 $k$ を固定して $n \to \infty$ とします。確率は次のように 4 つの因数に分けられます。 $_{n} C_{k} (\frac{λ}{n})^{k} (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} = \frac{λ ^{k}}{k !} \cdot \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} \cdot (1 - \frac{λ}{n})^{n} \cdot (1 - \frac{λ}{n})^{- k}$ 2 番目の因数は $1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \dots (1 - \frac{k - 1}{n})$ と書けるので $1$ に近づきます。したがって $_{n} C_{k} (\frac{λ}{n})^{k} = \frac{λ ^{k}}{k !} \cdot \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} \to \frac{λ ^{k}}{k !}$ です。3 番目の因数は $e$ の性質から $(1 - \frac{λ}{n})^{n} \to e^{- λ}$ となります。4 番目の因数は、 $k$ が固定されていて $1 - \frac{λ}{n} \to 1$ なので $(1 - \frac{λ}{n})^{- k} \to 1$ です。以上を合わせると、確率は $\frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}$ に近づきます。そこで $P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} (k = 0, 1, 2, \dots)$ で定まる分布をポアソン分布といい、 $P o (λ)$ と書きます。

全確率が $1$ になるのは、すべての実数 $x$ で成り立つテイラー展開 $e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x ^{k}}{k !}$ によります。期待値では、 $k = 0$ の項が $0$ であることと $\frac{k}{k !} = \frac{1}{( k - 1 )!}$ を使います。 $E [X] = k = 0 \sum \infty k e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} k = 1 \sum \infty \frac{λ ^{k}}{( k - 1 )!} = e^{- λ} \cdot λ k = 1 \sum \infty \frac{λ ^{k - 1}}{( k - 1 )!} = e^{- λ} \cdot λ e^{λ} = λ$ 同様に $E [X (X - 1)] = e^{- λ} \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{λ ^{k}}{( k - 2 )!} = e^{- λ} \cdot λ^{2} e^{λ} = λ^{2}$ なので、 $V [X] = λ^{2} + λ - λ^{2} = λ$ です。これは二項分布の $n p = λ$ と $n p (1 - p) = λ (1 - \frac{λ}{n}) \to λ$ に一致します。

どちらの分布でも、 $E [X^{2}]$ を直接求めるより $E [X (X - 1)]$ を求めるほうが楽です。係数 $k (k - 1)$ が、べき級数を 2 回微分したときの係数や $k!$ との約分にちょうど合うからです。

手順

問題の状況がどちらの分布かを判定し、パラメータを決める。初めて成功するまでの回数なら幾何分布（成功確率 $p$ ）、平均 $λ$ でまれに起こる事象の回数ならポアソン分布 $P o (λ)$ とする。
確率関数ととる値の範囲を書く。幾何分布は $P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p (k \geq 1)$ 、ポアソン分布は $P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} (k \geq 0)$ である。
確率を求めるときは、必要な項を足すか、余事象と級数の和を使う。例えば幾何分布では $P (X > k) = \sum_{j = k + 1}^{\infty} (1 - p)^{j - 1} p = (1 - p)^{k}$ となる。
期待値と $E [X (X - 1)]$ を級数で求める。幾何分布では $∣ x ∣ < 1$ で成り立つ $\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ と $\sum_{k = 2}^{\infty} k (k - 1) x^{k - 2} = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}}$ を使う。ポアソン分布では $e^{λ} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{λ ^{k}}{k !}$ を使い、最後に係数 $e^{- λ}$ を掛ける。
分散を $V [X] = E [X (X - 1)] + E [X] - E [X]^{2}$ で計算する。結果は、幾何分布で $E [X] = \frac{1}{p}$ 、 $V [X] = \frac{1 - p}{p ^{2}}$ 、ポアソン分布で $E [X] = V [X] = λ$ となる。

例題

1 個のさいころを、1 の目が初めて出るまで繰り返し投げる。投げる回数を $X$ とするとき、 $X$ の分散 $V [X]$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：各回の投げ方は独立で、1 の目が出る確率は毎回 $\frac{1}{6}$ である。 $X$ は「初めて成功するまでの回数」なので、成功確率 $p = \frac{1}{6}$ の幾何分布に従う。

手順 2：確率関数は $P (X = k) = (\frac{5}{6})^{k - 1} \frac{1}{6} (k = 1, 2, 3, \dots)$ である。

手順 4： $q = \frac{5}{6}$ とおく。 $∣ q ∣ < 1$ なので、 $\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}$ に $x = q$ を代入できる。 $E [X] = \sum_{k = 1}^{\infty} k q^{k - 1} p = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{( 1/6 ) ^{2}} = 6$ である。次に $\sum_{k = 2}^{\infty} k (k - 1) x^{k - 2} = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}}$ に $x = q$ を代入する。 $E [X (X - 1)] = \sum_{k = 2}^{\infty} k (k - 1) q^{k - 1} p = pq \cdot \frac{2}{p ^{3}} = \frac{2 q}{p ^{2}} = 2 \cdot \frac{5}{6} \cdot 36 = 60$ である。

手順 5： $V [X] = E [X (X - 1)] + E [X] - E [X]^{2} = 60 + 6 - 36 = 30$ である。公式 $\frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{5/6}{1/36} = 30$ とも一致する。

答え: $30$

よくある誤り

幾何分布の数え方を取り違える誤り。「成功するまでの試行回数」 $X$ （ $k \geq 1$ ）なら $E [X] = \frac{1}{p}$ である。これに対し「成功までの失敗回数」 $Y = X - 1$ （ $k \geq 0$ ）なら $E [Y] = \frac{1 - p}{p}$ になる。分散はどちらも $\frac{1 - p}{p ^{2}}$ である。問題がどちらで数えているかを必ず確認する。
幾何分布の分散を $\frac{1}{p ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは $E [X^{2}] = \frac{2 - p}{p ^{2}}$ から $E [X]^{2} = \frac{1}{p ^{2}}$ を引いて、 $V [X] = \frac{1 - p}{p ^{2}}$ である。
ポアソン分布で $k = 0$ の項を落とす誤り。例えば $P (X \geq 2) = 1 - P (X = 1) = 1 - λ e^{- λ}$ としてしまう。正しくは $P (X \geq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) = 1 - e^{- λ} (1 + λ)$ である。
ポアソン分布の期待値の計算で係数 $e^{- λ}$ を掛け忘れ、 $E [X] = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{λ ^{k}}{( k - 1 )!} = λ e^{λ}$ としてしまう誤り。正しくは $E [X] = e^{- λ} \cdot λ e^{λ} = λ$ である。同様に $E [X (X - 1)] = λ^{2}$ を $E [X^{2}]$ と取り違えると $V [X] = λ^{2} - λ^{2} = 0$ となってしまう。正しくは $E [X^{2}] = λ^{2} + λ$ なので、 $V [X] = λ$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

積率母関数（大学数学確率・統計）
M/M/1 待ち行列とリトルの公式（大学数学オペレーションズ・リサーチ）
分子量分布と平均の計算（大学化学高分子化学）
共重合体の連鎖分布と平均連鎖長（大学化学高分子化学）