確率・統計の問題

表が出る確率が $p$ $(0<p<1)$ の硬貨があり、$p$ は未知とする。「表が初めて出るまで硬貨を投げ続け、投げた回数を記録する」という試行を互いに独立に $5$ 回行う。$1$ 回の試行で記録される回数 $X$ は
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
に従う。記録された回数は
$$2,5,1,3,4$$
であった。このデータにもとづく $p$ の最尤推定値を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ は互いに独立で、どれも次の確率分布にしたがうとする。
$$P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2},P(X_k=2)=\frac{1}{4}(k=1,2,3,\dots )$$
正の整数 $n$ に対して
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。ある定数 $c$ が存在して、任意の正の数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\ge \epsilon \right)=0$$
が成り立つ。この定数 $c$ を求めよ。

$p$ を $0<p<1$ を満たす未知の母数とする。ある試行を成功するまで繰り返し、初めて成功するまでの回数 $X$（成功した回も数える）は、確率関数
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
にしたがうとする。この実験を互いに独立に $4$ 回行ったところ、$X$ の観測値は $3,1,4,2$ であった。このデータにもとづく $p$ の最尤推定値を求めよ。

$\lambda >0$ を未知の母数とする。ある窓口に 1 時間あたりに来る客の人数 $X$ は、確率関数
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（ただし $0!=1$）。異なる 7 つの時間帯で客の人数を互いに独立に観測したところ、
$$3,1,0,2,4,1,2$$
という結果を得た。この観測結果にもとづく $\lambda$ の最尤推定値を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも
$$P(X_i=1)=P(X_i=0)=\frac{1}{2}(i=1,2,\dots ,n)$$
に従うとする（公平な硬貨を $n$ 回投げ、表なら $1$、裏なら $0$ とする）。$n$ は正の整数とし、標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

${\bar{X}}_n$ にチェビシェフの不等式を用いると、
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\geqq \frac{1}{10}\right)\leqq \frac{V({\bar{X}}_n)}{{\left(\frac{1}{10}\right)}^2}$$
が成り立つ。この右辺の値が $\frac{1}{100}$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。