確率・統計の問題

手順 1：尤度関数を書く。
4 回の実験は互いに独立なので、観測値 $3,1,4,2$ が得られる確率は各確率の積である。これを $p$ の関数とみたものが尤度関数 $L(p)$ である。
$$L(p)=\{(1-p{)}^{2}p\}\cdot \{(1-p{)}^{0}p\}\cdot \{(1-p{)}^{3}p\}\cdot \{(1-p{)}^{1}p\}=p^4(1-p{)}^6.$$
（$p$ の指数は観測の個数 $4$、$1-p$ の指数は $(3-1)+(1-1)+(4-1)+(2-1)=6$。）

手順 2：対数尤度をとる。
$\log$ は増加関数なので、$L(p)$ を最大にする $p$ と $\log L(p)$ を最大にする $p$ は同じである。積が和になって微分しやすくなる。
$$\ell (p)=\log L(p)=4\log p+6\log (1-p)(0<p<1).$$

手順 3：微分して 0 とおく。
$${\ell }^{\prime }(p)=\frac{4}{p}-\frac{6}{1-p}=\frac{4(1-p)-6p}{p(1-p)}=\frac{4-10p}{p(1-p)}.$$
${\ell }^{\prime }(p)=0$ より $4-10p=0$、すなわち $p=\frac{2}{5}$。

手順 4：最大であることを確かめる。
$0<p<1$ で分母 $p(1-p)>0$ なので、${\ell }^{\prime }(p)$ の符号は $4-10p$ の符号と一致する。よって $0<p<\frac{2}{5}$ で ${\ell }^{\prime }(p)>0$（増加）、$\frac{2}{5}<p<1$ で ${\ell }^{\prime }(p)<0$（減少）となり、$p=\frac{2}{5}$ で $\ell (p)$ は最大になる。

したがって最尤推定値は $\hat{p}=\frac{2}{5}$ である。（これは「成功回数 $4$ ÷ 総試行回数 $10$」に一致しており、直観とも合う。）

尤度は $L(p)={\prod }_{i=1}^4(1-p{)}^{k_i-1}p=(1-p{)}^{\sum k_i-4}{p}^4$。観測値の和は $3+1+4+2=10$ なので $L(p)=(1-p{)}^6{p}^4$。
対数尤度は $\ell (p)=4\log p+6\log (1-p)$。
微分すると ${\ell }^{\prime }(p)=\frac{4}{p}-\frac{6}{1-p}=0$ より $4(1-p)=6p$、すなわち $p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
${\ell }^{\prime }(p)$ は $p<2/5$ で正、$p>2/5$ で負なので、これは最大値を与える。一般には $\hat{p}=n/\sum k_i=1/\bar{k}=4/10$ であり、これと一致する。
検算：$p=0.4$ で $L=0.6^6\cdot 0.4^4$。$p=0.5$ では $0.5^{10}\approx 0.000977$、$p=0.4$ では $0.046656\cdot 0.0256\approx 0.001194$ で、$p=0.4$ のほうが大きい。